Question

Найдите все интервалы убывания функции f(x)=1/4x^4-5/3x^3+3x^2+10

Answer 1

_______________________________

Answer 2

Чтобы найти интервалы убывания функции $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 + 10$, нужно проанализировать её производную и определить, где производная отрицательна.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$. $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 + 10\right)$

Производная $f'(x)$ равна сумме производных каждого слагаемого: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{5}{3}x^3\right) + \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(10)$

Упростим производные: $f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{5}{3} \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x$

$f'(x) = x^3 - 5x^2 + 6x$

Шаг 2: Найдем критические точки функции $f(x)$, то есть значения $x$, где $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует.

Для этого решим уравнение $f'(x) = 0$: $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$

Можно заметить, что $x = 0$ является одним из корней этого уравнения. Разделим уравнение на $x$ для нахождения двух оставшихся корней:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня: $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

$x = \frac{5 \pm 1}{2}$

Таким образом, критические точки функции $f(x)$ равны $x = 0$, $x = 2$ и $x = 3$.

Шаг 3: Определим интервалы убывания функции $f(x)$, используя знак производной $f'(x)$ между критическими точками.

Составим таблицу, чтобы проанализировать знак $f'(x)$ в различных интервалах:

Интервал	$f'(x)$	Тип интервала
$(- \infty, 0)$	Отрицательная	Убывание
$(0, 2)$	Положительная	Возрастание
$(2, 3)$	Отрицательная	Убывание
$(3, +\infty)$	Положительная	Возрастание

Таким образом, функция $f(x)$ убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и