Question

Исследуйте функцию (как можно подробнее) и постройте её график: 1) y=x^4-2x^2+2;2) y= x+2/x-3.Заранее спасибо.

Answer 1

Дана функция: y = -x^4 + 2x^2 + 3При построении графиков функций  можно примерно придерживаться следующего плана:
 1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть.
Ограничений нет: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, отсутствуют вертикальные асимптоты и точки разрыва функции.
Область значений определится после нахождения экстремумов.
2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.
Проверим функцию -  четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(-x). 
Так как переменная в чётных степенях, то функция чётная.
3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).
Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в -x^4+2x^2+3.
у =-0^4+2*0^2+3 = 3,
Результат: y=3. Точка: (0; 3).
Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:
График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение: -x^4+2x^2+3 = 0.
Делаем замену х^2 = t и получаем квадратное уравнение:
-t^2+2t+3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t: 
Ищем дискриминант:
D=2^2-4*(-1)*3=4-4*(-1)*3=4-(-4)*3=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√16-2)/(2*(-1))=(4-2)/(2*(-1))=2/(2*(-1))=2/(-2)=-2/2=-1;
t_2=(-√16-2)/(2*(-1))=(-4-2)/(2*(-1))=-6/(2*(-1))=-6/(-2)=-(-6/2)=-(-3)=3.
Первый корень отбрасываем, так как квадрат х не может быть отрицательным числом.
Находим 2 точки пересечения графика с осью Ох: х = √3 и х = -√3.
5. Найти асимптоты графика - их нет, так как все пределы при х⇒∞ равны ∞.
6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.
y' = 4x³ + 4x = -4x(x² - 1).
Приравниваем нулю: -4x(x² - 1) = 0.
Получаем 3 критические точки: х = 0,  х = 1 и х = -1.
7. Найти промежутки монотонности функции.
Получили 4 промежутка: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) и (1; +∞).
8. Определить экстремумы функции f(x).
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x =    -2       -1      -0,5      0      0,5      1       2 y' =   24       0      -1,5       0      1,5     0      -24.Имеем: 2 максимума: (-1; 4) и (1; 4) и локальный минимум (0; 3).             4 промежутка монотонности:              - возрастание (-∞; -1) и (0; 1),              - убывание      (-1; 0) и (1; +∞).Теперь определилась область значений функции: (-∞; 3].9. Вычислить вторую производную f''(x) = -12x^2+ 4.
Приравниваем нулю: -12x^2+ 4 = -12(x^2- (1/3)) = 0.
Имеем 2 точки перегиба: х = 1/√3 и -1/√3.
10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.
где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
x =    -1         -0,57735        0         0,57735        1 y'' =  -8                0             4               0             -8.График выпуклый на промежутках (-∞; (-1/√3)) и ((1/√3); +∞),             вогнутый на промежутке (-1/√3) (1/√3)).11. Построить график, используя полученные результаты исследования.
Дан в приложении.

Answer 2

Давайте исследуем и построим графики для обеих функций.

1. Функция: y = x^4 - 2x^2 + 2

Для начала, давайте найдем значения функции для нескольких значений x, чтобы понять её поведение:

x	y = x^4 - 2x^2 + 2
-3	64
-2	18
-1	2
0	2
1	0
2	6
3	38

Теперь нарисуем график функции:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функции
def func1(x):
    return x**4 - 2*x**2 + 2

# Генерируем значения x от -4 до 4 с шагом 0.1
x = np.linspace(-4, 4, 100)

# Вычисляем значения y
y = func1(x)

# Построение графика
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = x^4 - 2x^2 + 2')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5)
plt.show()

2. Функция: y = (x + 2) / (x - 3)

Аналогично, найдем значения функции для нескольких значений x:

x	y = (x + 2) / (x - 3)
-3	не определено
-2	-4
-1	-1.5
0	-0.666...
1	-0.333...
2	1.333...
3	не определено
4	2.5
5	1.8

Обратите внимание, что функция не определена при x = -3 и x = 3, так как в знаменателе получается 0, что приводит к делению на 0.

Теперь нарисуем график функции:

pythonCopy code
# Определение функции
def func2(x):
    return (x + 2) / (x - 3)

# Удалим значения, при которых функция не определена для корректного построения графика
x = np.delete(x, [30, 80])

# Вычисляем значения y
y = func2(x)

# Построение графика
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = (x + 2) / (x - 3)')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5)
plt.show()

Таким образом, мы получили графики для обеих функций. Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная информация, пожалуйста, дайте знать.