Question

При каких значениях переменной имеет смысл выражение x+2/x²+3x-4

Answer 1

Чтобы выражение имело смысл, знаменатель должен быть больше или меньше нуля:

Следовательнополучили два неравенства:
${x}^{2} + 3x - 4 > 0 \\ {x}^{2} + 3x - 4 < 0$

Теперь узнаем, какие точки надо исключить. Для этого знаменатель приравняем к нулю:
${x}^{2} + 3x - 4 = 0$

По теореме Виета решим это уравнение:
$x_{1} + x_{2} = - 3$
$x_{1}x_{2} = - 4$

$x_{1} = - 4$
$x_{2} = 1$

Теперь запишем промежуток: x∈(-∞; -4)U(-4; 1)U(1; +∞).

Ответ: x∈(-∞; -4)U(-4; 1)U(1; +∞).

Answer 2

Для того чтобы определить, при каких значениях переменной x имеет смысл выражение $\frac{x+2}{x^2+3x-4}$, нужно учитывать два аспекта:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль недопустимо. Поэтому, нужно исключить значения x, при которых $x^2+3x-4 = 0$.

2. Если знаменатель не равен нулю, тогда выражение имеет смысл при любом значении x.

Давайте решим первый пункт, найдем значения x, при которых $x^2+3x-4 = 0$:

Чтобы решить квадратное уравнение $x^2+3x-4 = 0$, можно использовать формулу дискриминанта:

Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ вычисляется как $D = b^2-4ac$.

В нашем случае, уравнение имеет вид $x^2+3x-4 = 0$, поэтому $a = 1$, $b = 3$, $c = -4$.

Теперь вычислим дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Дискриминант равен 25. Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если $D = 0$, то уравнение имеет один корень. Если $D < 0$, то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае $D > 0$, следовательно, уравнение $x^2+3x-4 = 0$ имеет два различных вещественных корня.

Давайте найдем эти корни:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-3 \pm 5}{2}$

Таким образом, корни уравнения $x^2+3x-4 = 0$ равны $x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$.

Теперь, чтобы определить, при каких значениях переменной x выражение $\frac{x+2}{x^2+3x-4}$ имеет смысл, нужно исключить значения x, при которых знаменатель равен нулю.

Знаменатель равен $x^2+3x-4$, и у нас уже есть корни этого уравнения: $x = 1$ и $x = -4$.

Следовательно, при $x = 1$ и $x = -4$ знаменатель будет равен нулю, и выражение $\frac{x+2}{x^2+3x-4}$ не будет иметь смысла в этих точках.

Таким образом, для всех остальных значений x, выражение $\frac{x+2}{x^2+3x-4}$ имеет смысл.