Question

Интеграл sin^3 3xdx Срочно пожалуйста

Answer 1

Если еще актуально решение задачи.
Здесь нужно расписать sin³3x=sin²3x·sin3x и внести под знак дифференциала последний множитель. Так как производная косинуса есть синус, то под знаком дифференциала будет косинус.
Затем воспользоваться тригонометрическим тождеством sin²α+cos²α=1 и перейти к одной и той же тригонометрической функции - косинус и под интегралом. 
Подробное решение - на рисунках.

Answer 2

Конечно, рассчитаем интеграл ∫sin^3(3x)dx:

Для вычисления данного интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям (integration by parts). Этот метод гласит:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - это функции, которые нужно выбрать, чтобы упростить интеграл. Обычно u выбирается таким образом, чтобы производная du была более простой, а v выбирается так, чтобы интеграл ∫v du был легко вычислим.

Для данного интеграла возьмем:

u = sin^2(3x) и dv = sin(3x) dx.

Теперь найдем соответствующие производные:

du = d(sin^2(3x)) = 2sin(3x)cos(3x) dx, v = ∫sin(3x) dx = -1/3 cos(3x).

Теперь можем применить формулу интегрирования по частям:

∫sin^3(3x) dx = ∫u dv = uv - ∫v du = sin^2(3x) * (-1/3 cos(3x)) - ∫(-1/3 cos(3x)) * (2sin(3x)cos(3x)) dx = -1/3 * sin^2(3x) * cos(3x) + 2/3 * ∫sin(3x)cos^2(3x) dx.

Остался еще один интеграл ∫sin(3x)cos^2(3x) dx, но его можно вычислить, снова используя интегрирование по частям:

Пусть u = cos^2(3x) и dv = sin(3x) dx. Тогда du = d(cos^2(3x)) = -2sin(3x)cos(3x) dx и v = ∫sin(3x) dx = -1/3 cos(3x).

Применяем формулу интегрирования по частям еще раз:

∫sin(3x)cos^2(3x) dx = ∫u dv = uv - ∫v du = cos^2(3x) * (-1/3 cos(3x)) - ∫(-1/3 cos(3x)) * (-2sin(3x)cos(3x)) dx = -1/3 * cos^2(3x) * cos(3x) + 2/3 * ∫sin(3x)cos^2(3x) dx.

Теперь переместим все слагаемые с ∫sin(3x)cos^2(3x) dx в одну часть уравнения:

∫sin(3x)cos^2(3x) dx = -1/3 * cos^2(3x) * cos(3x) + 2/3 * ∫sin(3x)cos^2(3x) dx.

Теперь выразим ∫sin(3x)cos^2(3x) dx через оставшееся слагаемое:

∫sin(3x)cos^2(3x) dx = -1/3 * cos^2(3x) * cos(3x) + 2/3 * ∫sin(3x)cos^2(3x) dx.

Переносим ∫sin(3x)cos^2(3x) dx влево:

∫sin(3x)cos^2(3x) dx - 2/3 * ∫sin(3x)cos^2(3x) dx = -1/3 * cos^2(3x) * cos(3x).

Теперь объединим слева интегралы:

(1 - 2/3) * ∫sin(3x)cos^2(3x) dx = -1/3 * cos^2(3x) * cos(3x).

Упрощаем:

1/3 * ∫sin(3x)cos^2(3x) dx = -1/3 * cos^2(3x) * cos(3x).

Теперь делим обе стороны на 1/3:

∫sin(3x)cos^2(3x) dx = -cos^2(3x) * cos(3x).

Итак, интеграл ∫sin^3(3x) dx равен:

∫sin^3(3x) dx = -1/3 * sin^2(3x) * cos(3x) - cos^2(3x) * cos(3x) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.