Question

Найдите наибольший коэффициент многочлена (3+2x)^2017 после раскрытия скобок и приведения подобных членов

Answer 1

Коэффициент при  $k-$й степени равен  $a_k=C^k_{2017}3^{2017-k}2^k$ (из формулы бинома Ньютона)

Рассмотрим отношение  $\dfrac{a_{k}}{a_{k+1}} :$

$\dfrac{a_{k}}{a_{k+1}} = \dfrac{2017!}{k!(2017-k)!} \cdot \dfrac{(k+1)!(2017-k-1)!}{2017!}\cdot \dfrac{3^{2017-k}}{3^{2017-k-1}} \cdot \dfrac{2^k}{2^{k+1}} =\\ \\ \\ = \dfrac{3(k+1)}{2(2017-k)}$

Последнее отношение явно больше единицы при  $3k+3\ \textgreater \ 4034-2k$, т.е. при  $5k\ \textgreater \ 4031$. Таким образом, при  $k=807$ коэффициенты  $a_{807}\ \textgreater \ a_{808}\ \textgreater \ ...$ и тем самым убеждаемся что при k=807 коэффициент будет наибольшим

$a_{807}=C^{807}_{2017}3^{1210}2^{807}$

Answer 2

Для нахождения наибольшего коэффициента многочлена (3 + 2x)^2017 после раскрытия скобок и приведения подобных членов, нужно определить коэффициент при наибольшей степени x.

Общий коэффициент многочлена вида (a + bx)^n вычисляется с помощью биномиального коэффициента. Для нашего многочлена (3 + 2x)^2017 коэффициент при x^k будет равен "2017 по k" умноженное на 3^(2017-k) и умноженное на (2^k).

Наибольший коэффициент будет при максимальной степени x, которая равна 2017. Таким образом, коэффициент при x^2017 равен "2017 по 2017" умноженное на 3^(2017-2017) и умноженное на (2^2017).

Вычислим это значение:

"2017 по 2017" (читается как "2017 выбрать 2017") равно 1 (любое число делится на 1 равно самому себе).

Таким образом, наибольший коэффициент многочлена (3 + 2x)^2017 равен:

1 * 3^0 * 2^2017 = 1 * 1 * 2^2017 = 2^2017

Итак, наибольший коэффициент равен 2^2017, что примерно равно 3.2212 * 10^605.