Question

Вычислить скалярное произведение (а ̅+2в ̅)(а ̅-в ̅), если |а ̅ |=|b ̅ |=1, угол (а ̅,b ̅ )=〖120〗^0

Answer 1

Аа-ав+2ав-2вв= 1×1cos90+1×1cos120- 2×1×1cos90= 0 -1/2-0= -1/2

Answer 2

Для вычисления скалярного произведения векторов, мы можем использовать следующую формулу:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)$

где $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ - это векторы, $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ - их длины, а $\theta$ - угол между ними.

Учитывая, что $|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 1$ и $\theta = 120^\circ$, мы можем вычислить скалярное произведение.

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как угол $120^\circ$ соответствует углу внутри правильного треугольника, где все стороны равны 1, то его косинус равен $-\frac{1}{2}$.

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$

Теперь, учитывая вторую часть уравнения $(\mathbf{a} + 2\mathbf{b})(\mathbf{a} - \mathbf{b})$, мы можем раскрыть скобки и использовать полученное значение скалярного произведения:

$(\mathbf{a} + 2\mathbf{b})(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 2\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - 2\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}$

Учитывая, что $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 = 1$ и $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = 1$, а также $2\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ (так как скалярное произведение коммутативно), получаем:

$(\mathbf{a} + 2\mathbf{b})(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\left(-\frac{1}{2}\right) - 2 \cdot 1$

$(\mathbf{a} + 2\mathbf{b})(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 1 + \frac{1}{2} - 1$

$(\mathbf{a} + 2\mathbf{b})(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \frac{1}{2}$

Таким образом, скалярное произведение $(\mathbf{a} + 2\mathbf{b})(\mathbf{a} - \mathbf{b})$ равно $\frac{1}{2}$.