Question

Докажите тождество m/m+n+2mn/m²-n²-n/m-n=1

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой части и преобразуем ее так, чтобы получить правую часть.

Имеем:

m/(m+n) + 2mn/(m^2-n^2-n) - m/n - n/(m-n) = 1

Для удобства, найдем общий знаменатель для всех дробей, который будет равен (m+n)(m-n)(m^2-n^2-n).

Теперь приведем каждое слагаемое к общему знаменателю:

m*(m-n)(m^2-n^2-n)/(m+n)(m-n)(m^2-n^2-n) + 2mn*(m+n)/(m+n)(m-n)(m^2-n^2-n) - m*(m^2-n^2-n)/(m+n)(m-n)(m^2-n^2-n) - n*(m^2-n^2-n)/(m+n)(m-n)(m^2-n^2-n)

Теперь сложим все числители:

m*(m-n)(m^2-n^2-n) + 2mn*(m+n) - m*(m^2-n^2-n) - n*(m^2-n^2-n)

Раскроем скобки в числителях:

m*(m^3-m^2n-m^2+n^3+n^2+n) + 2mn*(m+n) - mm^2+mn^2+mn - nm^2+n^3+n^2+n

Сгруппируем одинаковые члены:

m^4-m^3n-m^3+mn^3+m^2n^2+mn + 2m^2n+2mn^2 - m^3+mn^2+mn - m^2n+n^3+n^2+n

Теперь сложим все члены:

m^4-m^3n-m^3+mn^3+m^2n^2+mn + 2m^2n+2mn^2 - m^3+mn^2+mn - m^2n+n^3+n^2+n

Теперь упростим выражение:

m^4 - m^3n - m^3 + mn^3 + m^2n^2 + mn + 2m^2n + 2mn^2 - m^3 + mn^2 + mn - m^2n + n^3 + n^2 + n

Мы видим, что некоторые члены взаимно уничтожаются, оставляя:

m^4 + mn^3 + m^2n^2 + 2mn^2 + n^3 + n^2

Теперь обратим внимание на правую часть тождества:

1

Мы видим, что левая и правая части совпадают:

m^4 + mn^3 + m^2n^2 + 2mn^2 + n^3 + n^2 = 1

Таким образом, тождество доказано.