Question

Упростить: (1+ctg^2a)×sin^2a

Answer 1

Решение
Упростить:
(1+ctg^2a)×sin^2a = (1/sin²a) * sin²a = 1

Answer 2

Для упрощения выражения (1 + ctg^2a) × sin^2a воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Тригонометрическое тождество: ctg^2a = 1 + tan^2a

Заменяем ctg^2a на выражение 1 + tan^2a:

(1 + ctg^2a) × sin^2a = (1 + (1 + tan^2a)) × sin^2a

Теперь раскрываем скобки:

(1 + (1 + tan^2a)) × sin^2a = (1 + 1 + tan^2a) × sin^2a

Простофиксируем сумму в скобках:

(1 + 1 + tan^2a) × sin^2a = (2 + tan^2a) × sin^2a

Теперь упростим дальше:

(2 + tan^2a) × sin^2a = 2sin^2a + tan^2a × sin^2a

Для дальнейшего упрощения, воспользуемся тригонометрическим тождеством: tan^2a = sin^2a / cos^2a

Подставляем это тождество в выражение:

2sin^2a + tan^2a × sin^2a = 2sin^2a + (sin^2a / cos^2a) × sin^2a

Теперь упростим дробь:

2sin^2a + (sin^2a / cos^2a) × sin^2a = 2sin^2a + (sin^4a / cos^2a)

Теперь можно заметить, что у нас есть общий множитель sin^2a:

2sin^2a + (sin^4a / cos^2a) = sin^2a × (2 + sin^2a / cos^2a)

Если применить еще одно тригонометрическое тождество: sin^2a / cos^2a = tg^2a, то получим окончательный результат:

sin^2a × (2 + sin^2a / cos^2a) = sin^2a × (2 + tg^2a)

Итак, упрощенное выражение: sin^2a × (2 + tg^2a)