Question

Исследуйте функцию y=(2x+3)^-1

Answer 1

Вот график, он нужен был?

Answer 2

Для исследования функции y = (2x + 3)^-1, проведем анализ её свойств: область определения, чётность/нечётность, асимптоты, экстремумы и поведение при различных значениях x.

Функция имеет вид y = f(x) = (2x + 3)^-1.

1. Область определения: Для данной функции у нас нет никаких ограничений на значения x, за исключением того, что знаменатель не должен быть равен нулю (так как деление на ноль недопустимо). Таким образом, область определения функции - все вещественные числа, кроме x = -3/2, чтобы избежать деления на ноль.

2. Чётность/нечётность: Проверим функцию на чётность и нечётность, подставив в неё -x вместо x и проанализировав результат:

f(-x) = (2(-x) + 3)^-1 = (-2x + 3)^-1

Так как f(-x) ≠ f(x), функция является нечётной.

3. Асимптоты: Асимптоты - это вертикальные или горизонтальные линии, которые функция приближается, но не пересекает.

Горизонтальная асимптота: Когда x стремится к бесконечности или минус бесконечности, знаменатель функции становится очень большим (или очень маленьким), что приводит к тому, что функция стремится к 0. Таким образом, у нас есть горизонтальная асимптота y = 0.

Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель равен нулю, но числитель не равен нулю. В данной функции знаменатель равен нулю при x = -3/2. Однако, так как функция не определена в этой точке, нет вертикальной асимптоты.

4. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы, равные нулю производной функции и решим уравнение f'(x) = 0:

f(x) = (2x + 3)^-1

f'(x) = -2(2x + 3)^-2 * 2 = -4 / (2x + 3)^2

Теперь приравняем производную к нулю:

-4 / (2x + 3)^2 = 0

Нет решений для этого уравнения, следовательно, у функции нет экстремумов.

5. Поведение функции: При анализе знаков функции и её поведения при различных значениях x, можно определить следующее:

• При x → +∞, функция стремится к нулю (горизонтальная асимптота).
• При x → -∞, функция также стремится к нулю (горизонтальная асимптота).
• Функция не определена в точке x = -3/2 (вертикальная асимптота).
• Функция является нечётной.

Таким образом, мы исследовали функцию y = (2x + 3)^-1 и определили её основные свойства.