Question

Вычислите площадь фигуры,огрпниченной диниями:y=x^2 -2x+4,y=3,x=-1

Answer 1

Y=x²-2x+4,  y=3,   x=-1
x²-2x+4=3
x²-2x+1=0
(x-1)²=0
x-1=0
x=1   ⇒
S=₋₁∫¹(x²-2x+4-3)dx=₋₁∫¹(x²-2x+1)dx=(x³/3-x²+x) ₋₁|¹=1³/3-1²+1-((-1)³/3-(-1)²-1)=
=1/3-1+1-(-1/3-1-1)=¹/₃+2¹/₃=2²/₃.
Ответ: S≈2,667 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, сначала определим точки их пересечения.

1. Найдем точку пересечения кривой y = x^2 - 2x + 4 с прямой y = 3. Подставим значение y = 3 в уравнение кривой и решим уравнение относительно x:

x^2 - 2x + 4 = 3 x^2 - 2x + 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень:

x = (-(-2)) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1

Таким образом, кривая y = x^2 - 2x + 4 и прямая y = 3 пересекаются в точке (1, 3).

2. Теперь найдем точку пересечения кривой y = x^2 - 2x + 4 с вертикальной прямой x = -1. Подставим значение x = -1 в уравнение кривой:

y = (-1)^2 - 2 * (-1) + 4 = 1 + 2 + 4 = 7

Таким образом, кривая y = x^2 - 2x + 4 и вертикальная прямая x = -1 пересекаются в точке (-1, 7).

Теперь у нас есть две точки, которые ограничивают фигуру: A(1, 3) и B(-1, 7).

Теперь вычислим площадь фигуры, используя геометрическую методу разделения на прямоугольники.

Площадь фигуры = |интеграл от A до B y dx|

Площадь фигуры = |интеграл от -1 до 1 (x^2 - 2x + 4) dx|

Вычислим этот интеграл:

∫(x^2 - 2x + 4) dx = (x^3/3 - x^2 + 4x) + C

Теперь вычислим определенный интеграл от -1 до 1:

Площадь фигуры = [(1^3/3 - 1^2 + 41) - ((-1)^3/3 - (-1)^2 + 4(-1))]

Площадь фигуры = [(1/3 - 1 + 4) - (-1/3 - 1 - 4)]

Площадь фигуры = [(14/3) - (-22/3)]

Площадь фигуры = 36/3

Площадь фигуры = 12

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой y = x^2 - 2x + 4, прямой y = 3 и вертикальной прямой x = -1, равна 12 квадратным единицам.