Question

Учитывая, что f (x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 и (x + 1) является фактором, полностью разложите многочлен f (x). Укажите множество значений x, для которых f (x) ≤ 0

Answer 1

"factor" с английского переводится как "множитель"!

Answer 2

Чтобы разложить многочлен f(x) и найти множество значений x, для которых f(x) ≤ 0, мы должны использовать факторный метод. Из условия мы знаем, что (x + 1) является фактором многочлена f(x), что означает, что (x + 1) делит f(x) без остатка.

1. Найдем корни многочлена (x + 1) = 0: x + 1 = 0 x = -1

Таким образом, x = -1 - корень многочлена f(x).

2. Для разложения многочлена f(x) полностью, мы используем синтетическое деление или долгое деление:

   -1 | 2 3 -5 -6 | -2 -1 6 ----------------- 2 1 -6 0

Итак, после деления получаем: f(x) = 2x^2 + x - 6.

3. Разложим полученный многочлен f(x) = 2x^2 + x - 6 на множители:

   f(x) = (2x + 3)(x - 2).

Теперь мы полностью разложили многочлен f(x).

4. Чтобы найти множество значений x, для которых f(x) ≤ 0, мы рассматриваем значения x, при которых f(x) равно нулю или меньше нуля. Мы знаем, что многочлен меняет знак на точках пересечения с осью x, то есть там, где f(x) = 0.

Итак, для f(x) ≤ 0, нам нужно решить неравенство:

(2x + 3)(x - 2) ≤ 0.

5. Найдем интервалы, для которых левая часть неравенства меньше или равна нулю:

a) (2x + 3) ≤ 0 и (x - 2) ≥ 0: 2x + 3 ≤ 0 => 2x ≤ -3 => x ≤ -3/2, x - 2 ≥ 0 => x ≥ 2. Ответ: x ≤ -3/2 и x ≥ 2.

b) (2x + 3) ≥ 0 и (x - 2) ≤ 0: 2x + 3 ≥ 0 => 2x ≥ -3 => x ≥ -3/2, x - 2 ≤ 0 => x ≤ 2. Ответ: -3/2 ≤ x ≤ 2.

Таким образом, множество значений x, для которых f(x) ≤ 0, это объединение интервалов: x ∈ (-∞, -3/2] и [2, +∞).