Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=-3x^3+x+3 на отрезке [0;1]

Answer 1

Наибольшее значение 29/9
наименьшее значение 1

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [0, 1], следует выполнить несколько шагов:

1. Найти критические точки функции f(x) внутри интервала [0, 1]. Это будут точки, где производная функции равна нулю или не существует.

2. Определить значения функции f(x) на концах интервала [0, 1].

3. Сравнить значения функции в критических точках и на концах отрезка, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (-3x^3 + x + 3) = -9x^2 + 1

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: -9x^2 + 1 = 0 9x^2 = 1 x^2 = 1/9 x = ±√(1/9) = ±1/3

Шаг 2: Найдем значения функции на концах интервала [0, 1]: f(0) = -3(0)^3 + 0 + 3 = 3 f(1) = -3(1)^3 + 1 + 3 = 1

Шаг 3: Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: f(0) = 3 f(1) = 1 f(-1/3) = -3(-1/3)^3 - 1/3 + 3 = -3(-1/27) - 1/3 + 3 = 1 + 1/3 + 3 = 10/3 ≈ 3.33 f(1/3) = -3(1/3)^3 + 1/3 + 3 = -3(1/27) + 1/3 + 3 = -1/9 + 1/3 + 3 = 3 + 1/3 ≈ 3.33

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на интервале [0, 1] равно приближенно 3.33 (достигается в точках x = -1/3 и x = 1/3), а наименьшее значение равно 1 (достигается в точке x = 1).