Question

Решите уравнение 3^(3x-1) +27^x = 2^(2x+1) +7×4^x

Answer 1

$3^{3x-1} +27^x= 2^{2x+1} +7*4^x \\ \\ 3^{3x-1} + 3^{3x} = 2^{2x+1} +7* 2^{2x} \\ \\ \frac{3^{3x}}{3} +3^{3x}=2*2^{2x} +7*2^{2x} \\ \\ 4*3^{3x}=27*2^{2x} \\ \\ 2^{2x-2}=3^{3x-3} \\ \\ 2^{2(x-1)}=3^{3(x-1)} \\ \\ 4^{(x-1)}=27^{(x-1)} \\ \\ \frac{4^{(x-1)}}{27^{(x-1)}} =( \frac{4}{27} )^{(x-1)}=1=( \frac{4}{27} )^0 \\ \\ x-1=0 \\ \\ x=1$

Answer 2

Для решения уравнения 3^(3x-1) + 27^x = 2^(2x+1) + 7×4^x, мы можем попробовать привести все слагаемые к одной основе. Для этого заметим, что 27 = 3^3 и 4 = 2^2. Также 7 = 2^2 + 1.

Теперь уравнение примет следующий вид:

3^(3x-1) + 3^(3x) = 2^(2x+1) + (2^2 + 1) × 2^(2x)

Теперь давайте заменим 2^2 на 4:

3^(3x-1) + 3^(3x) = 2^(2x+1) + (4 + 1) × 2^(2x)

3^(3x-1) + 3^(3x) = 2^(2x+1) + 5 × 2^(2x)

Теперь давайте приведем все слагаемые к одной степени, используя общую степень, например, 2x:

3^(3x-1) + 3^(3x) - 5 × 2^(2x) - 2^(2x+1) = 0

Теперь давайте решим уравнение. Пусть y = 2^x:

3^(3x-1) + 3^(3x) - 5y^2 - 2y = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно y. Решим его:

3^(3x) + 3^(3x-1) = 5y^2 + 2y

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

3^(3x) + 3^(3x-1) - 5y^2 - 2y = 0

Уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a = 3^(3x), b = 3^(3x-1) - 2, и c = -5y^2.

Применим квадратное уравнение:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

y = (2 - 3^(3x-1) ± √((3^(3x-1) - 2)^2 + 4 * 3^(3x) * 5)) / (2 * 3^(3x))

Теперь вернемся к изначальной переменной x:

2^x = (2 - 3^(3x-1) ± √((3^(3x-1) - 2)^2 + 4 * 3^(3x) * 5)) / (2 * 3^(3x))

Это уравнение можно решить численными методами, например, методом итераций или графически. Найденное значение x должно удовлетворять исходному уравнению.