Question

помогите пожалуйста!!! найдите площадь фигуры,ограниченной параболой у=(х+1)^2 ,прямой у=1-х и осью ох

Answer 1

Найду точки пересечения графиков-координаты х их дадут пределы интегрирования
(x+1)^2=1-x
x^2+2x+1-1+x=0
x^2+3x=x(x+3)=0
x1=0; x2=-3
S=∫(1-x-(1+x)^2)dx=∫(1-x-x^2-2x-1)dx=∫(-x^2-3x)d= -∫(x^2+3x)dx=
= - x^3/3-3x^2/2=
подстановка от -3 до 0= 0-(-(-3)^3/3-3(-3)^2/2)=-9+27/2=-9+13.5=4.5
Ответ S=4.5

Answer 2

Хорошо, давайте найдем площадь фигуры, ограниченной параболой у=(х+1)^2, прямой у=1-х и осью ох.

Для начала, давайте визуализируем эти графики, чтобы лучше понять, какая область ограничивается этими кривыми:

1. Парабола: у=(х+1)^2
2. Прямая: у=1-х
3. Ось ох

Для этого давайте построим их на графике:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 1, 100)
y_parabola = (x + 1) ** 2
y_line = 1 - x

plt.plot(x, y_parabola, label='y=(x+1)^2')
plt.plot(x, y_line, label='y=1-x')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)  # Ось ох
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)  # Ось оу
plt.fill_between(x, y_parabola, y_line, where=(y_parabola > y_line), color='gray', alpha=0.5)

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title('Площадь фигуры между параболой, прямой и осью ох')
plt.show()

На этом графике область, которую мы ищем, закрашена серым цветом.

Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно найти площадь между кривой параболы и прямой. Для этого сначала найдем точки их пересечения, а затем проинтегрируем разность между их функциями в этом интервале.

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение (х + 1)^2 = 1 - х: (х + 1)^2 = 1 - х х^2 + 2х + 1 = 1 - х х^2 + 3х = 0 х(х + 3) = 0

   Отсюда получаем две точки пересечения: х = 0 и х = -3.

2. Найдем площадь между кривой и прямой: Для этого возьмем интеграл от функции параболы минус функции прямой на интервале между точками пересечения: S = ∫[0, -3] ((х + 1)^2 - (1 - х)) dx

   Вычислим данный интеграл: S = ∫[0, -3] (х^2 + 2х + 1 - 1 + х) dx S = ∫[0, -3] (х^2 + 3х) dx S = (х^3 / 3) + (3х^2 / 2) |[0, -3] S = ((-3)^3 / 3) + (3(-3)^2 / 2) - (0 / 3) - (3(0)^2 / 2) S = (-27 / 3) + (27 / 2) S = -9 + 13.5 S = 4.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой у=(х+1)^2, прямой у=1-х и осью ох, равна 4.5 квадратных единиц.