Question

Найти предел x стремится к -бесконечности sqrt(x^2+4)-sqrt(x^2-3x+1)

Answer 1

$\lim_{x\rightarrow +\infty }( \sqrt{x^2+4}- \sqrt{x^2-3x+1}) = \\ = \lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{(\sqrt{x^2+4}+ \sqrt{x^2-3x+1})(\sqrt{x^2+4}- \sqrt{x^2-3x+1})}{\sqrt{x^2+4}+ \sqrt{x^2-3x+1}}= \\ =\lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{(x^2+4)-(x^2-3x+1)}{\sqrt{x^2+4}+ \sqrt{x^2-3x+1}}=$
$=\lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{3x+3}{\sqrt{x^2+4}+ \sqrt{x^2-3x+1}}=\\ = \lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{x( \frac{3}{x} +3)}{x\sqrt{1+ \frac{4}{x^2} }+ x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}}= \\ =\lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{ \frac{3}{x} +3}{\sqrt{1+ \frac{4}{x^2} }+ \sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}}= \lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{3}{2}=1,5$

Answer 2

Для нахождения предела функции при x стремящемся к минус бесконечности, сначала упростим выражение под корнем, чтобы избавиться от неопределенности и упростить выражение. Затем применим стандартные методы нахождения пределов. Начнем:

Для x, стремящегося к минус бесконечности, наиболее важным является член с наибольшей степенью в знаменателе. В данном случае у нас есть два корня: sqrt(x^2 + 4) и sqrt(x^2 - 3x + 1).

1. Найдем предел первого корня sqrt(x^2 + 4) при x -> -бесконечности:

Под корнем имеем x^2 + 4. Когда x стремится к минус бесконечности, x^2 растет быстрее, и 4 не оказывает существенного влияния. Поэтому предел этого корня можно найти так:

lim (x -> -бесконечности) sqrt(x^2 + 4) ≈ lim (x -> -бесконечности) sqrt(x^2) = lim (x -> -бесконечности) |x| = +бесконечность.

2. Теперь найдем предел второго корня sqrt(x^2 - 3x + 1) при x -> -бесконечности:

Под корнем имеем x^2 - 3x + 1. Когда x стремится к минус бесконечности, x^2 растет быстрее, и -3x и 1 не оказывают существенного влияния. Поэтому предел этого корня можно найти так:

lim (x -> -бесконечности) sqrt(x^2 - 3x + 1) ≈ lim (x -> -бесконечности) sqrt(x^2) = lim (x -> -бесконечности) |x| = +бесконечность.

3. Теперь мы имеем следующее выражение:

lim (x -> -бесконечности) (sqrt(x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 3x + 1)) ≈ +бесконечность - +бесконечность = 0.

Таким образом, предел данной функции при x, стремящемся к минус бесконечности, равен 0:

lim (x -> -бесконечности) (sqrt(x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 3x + 1)) = 0.