Question

Решить задачу Коши. ydx + (x + 1)dy = 0; y(0) = 4, x1 = 3. Ответ - значение в точке x1.

Answer 1

Разделив ydx=-(x+1)dy , откуда dx/(x+1)=-dy/y интергрируя обе части -ln(x+1)+C=lny , подставляя -ln1+C=ln4 откуда C=ln4 значит y=4/(x+1) , подставляя x1=3 получаем y=1

Answer 2

Для решения задачи Коши, нам необходимо найти функцию y(x), которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и начальному условию y(0) = 4.

Для начала, перепишем уравнение в форме, более удобной для решения:

ydx + (x + 1)dy = 0

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫ydx + ∫(x + 1)dy = ∫0dx

∫ydx + ∫(x + 1)dy = C, где C - постоянная интегрирования.

Теперь проинтегрируем левую часть:

∫ydx = xy + D1, где D1 - постоянная интегрирования.

∫(x + 1)dy = ∫xdy + ∫dy = xy + y + D2, где D2 - ещё одна постоянная интегрирования.

Теперь уравнение примет вид:

xy + D1 + xy + y + D2 = C

Упростим его:

2xy + y + D1 + D2 = C

Теперь вернемся к начальному условию y(0) = 4:

При x = 0:

2 * 0 * y(0) + y(0) + D1 + D2 = C

0 + 4 + D1 + D2 = C

D1 + D2 = C - 4

Таким образом, мы получили выражение для константы C: C = D1 + D2 + 4.

Теперь воспользуемся данным начальным условием x1 = 3, y(0) = 4:

2 * 3 * y(3) + y(3) + D1 + D2 = C

6y(3) + y(3) + D1 + D2 = C

7y(3) + (D1 + D2) = C

7y(3) + (C - 4) = C

Теперь найдем значение y(3):

7y(3) = C - C + 4

7y(3) = 4

y(3) = 4 / 7

Таким образом, ответ на задачу Коши y(x1), где x1 = 3, равен 4/7 или приближенно 0.5714.