Question

Вычислить предел правилом Лопиталя. lim(x->0)(sin(x^x))

Answer 1

Ответ ниже. Сначала преобразовываем для использования правила Лопиталя.

Answer 2

Для вычисления предела lim(x→0) sin(x^x) с помощью правила Лопиталя, сначала необходимо убедиться, что предел является неопределённостью вида 0/0 или ∞/∞. В данном случае, если подставить x = 0, получим 0^0, что является неопределенным выражением.

Для применения правила Лопиталя, найдем производные числителя и знаменателя по переменной x и затем вычислим предел полученного отношения, если он существует:

1. Найдем производную числителя: d/dx (sin(x^x)) = cos(x^x) * d/dx(x^x)

2. Найдем производную знаменателя: d/dx (x^x) = x^x * (ln(x) + 1)

Теперь возьмем предел отношения производных, когда x стремится к 0:

lim(x→0) [cos(x^x) * d/dx(x^x)] / [x^x * (ln(x) + 1)]

Теперь, подставим x = 0 в полученное выражение:

lim(x→0) [cos(0^0) * (0^0 * (ln(0) + 1))] / [0^0 * (ln(0) + 1)]

Обратите внимание, что здесь снова возникает неопределенность 0^0. Для того чтобы решить эту неопределенность, проведем более глубокий анализ.

Рассмотрим выражение x^x при приближении x к 0: lim(x→0) x^x

Это предел, который может быть вычислен с помощью правила Лопиталя. Для этого возьмем логарифм от исходного предела и преобразуем его:

lim(x→0) ln(x^x) = lim(x→0) x * ln(x) = 0 * (-∞) (так как ln(x) стремится к -∞, когда x стремится к 0)

Теперь применим правило Лопиталя к пределу x * ln(x):

lim(x→0) x * ln(x) d/dx(x * ln(x)) = ln(x) + 1

Теперь возьмем предел от ln(x) + 1 при x, стремящемся к 0:

lim(x→0) (ln(x) + 1) = -∞ + 1 = -∞

Теперь вернемся к исходному пределу sin(x^x):

lim(x→0) sin(x^x)

Мы знаем, что предел x^x стремится к 0, а sin(0) = 0, поэтому предел sin(x^x) равен 0.

Таким образом, предел lim(x→0) sin(x^x) с помощью правила Лопиталя равен 0.