Question

Исследуйте функцию и постройте ее график f(x)=(x-3)/(x-4)

Answer 1

Вот держи. Это полностью всё решение по пунктам с графиком

Answer 2

Для начала исследуем функцию f(x) = (x - 3)/(x - 4). Чтобы построить её график, рассмотрим различные аспекты функции.

1. Определение области определения: Функция f(x) определена для всех значений x, за исключением значения x = 4. При x = 4 знаменатель становится равным нулю, что делает функцию неопределенной. Таким образом, область определения функции f(x) - это все значения x, кроме x = 4.

2. Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение (x - 3)/(x - 4) = 0: x - 3 = 0 x = 3

Таким образом, у функции есть один нуль при x = 3.

3. Асимптоты: a) Вертикальная асимптота: При x = 4 функция имеет вертикальную асимптоту, так как знаменатель становится равным нулю. b) Горизонтальная асимптота: При анализе предела функции, когда x стремится к бесконечности (x -> ∞) или к минус бесконечности (x -> -∞), мы получаем горизонтальную асимптоту у y = 1. Это можно увидеть, разделив коэффициенты перед степенями переменных в числителе и знаменателе.

4. Знаки функции: Чтобы понять, когда функция положительна или отрицательна, рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

• Если x < 3, оба числителя и знаменателя будут отрицательными, значит, f(x) будет положительной.
• Если 3 < x < 4, числитель отрицателен, а знаменатель положителен, значит, f(x) будет отрицательной.
• Если x > 4, оба числителя и знаменателя будут положительными, значит, f(x) будет положительной.

Теперь построим график функции f(x) = (x - 3)/(x - 4):

Картинка графика функции: https://i.imgur.com/l9pQXUw.png

На графике видно, что функция имеет вертикальную асимптоту при x = 4, горизонтальную асимптоту у y = 1, и проходит через точку (3, 1), что соответствует нулю функции. Функция также меняет свой знак при x = 3, что создает разрыв в графике.