Question

Докажите тождество cos^2(45°+a)-cos^2(30°-а)-sin15°×cos(15°+2a)=sin2a

Answer 1

$cos^2(45+a)-cos^2(30-a)-sin15\cdot cos(15+2a)=\\\\=(cos(45+a)-cos(30-a))(cos(45+a)+cos(30-a))-\\\\-sin15\cdot cos(15+2a)=\\\\=-2\, sin\frac{75}{2}\cdot sin\frac{15+2a}{2}\cdot 2\, cos\frac{75}{2}\cdot cos\frac{15+2a}{2}-sin15\cdot cos(15+2a)=\\\\=-sin75\cdot sin(15+2a)-sin15\cdot cos(15+2a)=\\\\=-\Big (cos15\cdot sin(15+2a)+sin15\cdot cos(15+2a)\Big )=\\\\=-sin(15+15+2a)=-sin(30+2a)\ne sin2a\\\\\\P.S.\; \; cos^2(45+a)-cos^2(30-a)+sin15\cdot cos(15+2a)=...=\\\\=-sin75\cdot sin(15+2a)+sin15\cdot cos(15+2a)=$

$=-cos15\cdot sin(15+2a)+sin15\cdot cos(15+2a)=\\\\=sin(15-(2a+15))=-sin2a$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.

Давайте рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

1. cos^2(45° + a): Используем тригонометрическое тождество cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b): cos^2(45° + a) = cos^2(45°)cos^2(a) - sin^2(45°)sin^2(a) Так как cos(45°) = sin(45°) = 1/√2, подставим значения: cos^2(45° + a) = (1/√2)^2cos^2(a) - (1/√2)^2sin^2(a) cos^2(45° + a) = 1/2 * (cos^2(a) - sin^2(a))

2. cos^2(30° - a): Используем тригонометрическое тождество cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b): cos^2(30° - a) = cos^2(30°)cos^2(a) + sin^2(30°)sin^2(a) Так как cos(30°) = √3/2 и sin(30°) = 1/2, подставим значения: cos^2(30° - a) = (√3/2)^2cos^2(a) + (1/2)^2sin^2(a) cos^2(30° - a) = 3/4 * cos^2(a) + 1/4 * sin^2(a)

3. sin(15°) * cos(15° + 2a): Используем тригонометрическое тождество sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b): sin(15°) * cos(15° + 2a) = (1/2) * cos(15° + 2a) + (1/2) * sin(15° + 2a)

4. sin(15° + 2a): Используем тригонометрическое тождество sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b): sin(15° + 2a) = sin(15°)cos(2a) + cos(15°)sin(2a) Так как sin(15°) = 1/2 и cos(15°) = √3/2, подставим значения: sin(15° + 2a) = (1/2) * cos(2a) + (√3/2) * sin(2a)

Теперь объединим все полученные результаты:

cos^2(45° + a) - cos^2(30° - a) - sin(15°) * cos(15° + 2a) = 1/2 * (cos^2(a) - sin^2(a)) - (3/4 * cos^2(a) + 1/4 * sin^2(a)) - ((1/2) * cos(15° + 2a) + (1/2) * sin(15° + 2a))

Теперь подставим выражение для sin(15° + 2a) в последнее слагаемое:

cos^2(45° + a) - cos^2(30° - a) - sin(15°) * cos(15° + 2a) = 1/2 * (cos^2(a) - sin^2(a)) - (3/4 * cos^2(a) + 1/4 * sin^2(a)) - ((1/2) * cos(15° + 2a) + (1/2) * ((1/2) * cos(2a) + (√3/2) * sin(2a)))

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

cos^2(45° + a) - cos^2(30° - a) - sin(15°) * cos(15° + 2a) = 1/2 * (cos^2(a) - sin^2(a)) - 3/4 * cos^2(a) - 1/4 * sin^2(a) - 1/4 * cos(2a) - (√3/4) * sin(2a)

Сгруппируем слагаемые с cos^2(a) и sin^2(a):

cos^2(45° + a) - cos^2(30° - a) - sin(15°) * cos(15° + 2a) = (1/2 - 3/4) * cos^2(a) + (-1/4) * sin^2(a) - 1/4 * cos(2a) - (√3/4) * sin(2a)

Упростим коэффициенты:

cos^2(45° + a) - cos^2(30° - a) - sin(15°) * cos(15° + 2a) = (-1/4) * cos^2(a) - 1/4 * sin^2(a) - 1/4 * cos(2a) - (√3/4) * sin(2a)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a):

cos^2(45° + a) - cos^2(30° - a) - sin(15°) * cos(15° + 2a) = (-1/4) * cos^2(a) - 1/4 * sin^2(a) - 1/4 * (cos^2(a) - sin^2(a)) - (√3/4) * sin(2a)

Упростим дальше:

cos^2(45° + a) - cos^2(30° - a) - sin(15°) * cos(15° + 2a) = (-1/4) * cos^2(a) - 1/4 * sin^2(a) - 1/4 * cos^2(a) + 1/4 * sin^2(a) - (√3/4) * sin(2a)

Теперь сложим подобные слагаемые: