Question

Найдите кратчайшее расстояние от точки(6;-3;-2) до сферы x2+y2+z2=9

Answer 1

центр сферы т. (0;0;0), радиус r=√9 = 3.

Расстояние от данной точки до центра сферы

d = √( (6-0)^2 + (-3-0)^2 + (-2-0)^2) = √( 36+9+4) = √49 = 7.

Пусть искомое кратчайшее расстояние Δ.

Тогда d = Δ+r.

Отсюда Δ = d - r = 7 - 3 = 4.

Ответ. 4.

Answer 2

Для того чтобы найти кратчайшее расстояние от данной точки до сферы, нужно найти расстояние от точки до её ближайшей точки на поверхности сферы.

Уравнение сферы: x^2 + y^2 + z^2 = 9

Пусть точка на сфере, ближайшая к данной точке (6, -3, -2), имеет координаты (x, y, z). Тогда вектор, соединяющий эти две точки, будет иметь координаты (x - 6, y + 3, z + 2).

Так как искомая точка лежит на поверхности сферы, она удовлетворяет уравнению сферы:

(x)^2 + (y)^2 + (z)^2 = 9

Подставляем значения (x, y, z) из вектора:

(x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z + 2)^2 = 9

Раскрываем скобки:

x^2 - 12x + 36 + y^2 + 6y + 9 + z^2 + 4z + 4 = 9

Упрощаем:

x^2 + y^2 + z^2 - 12x + 6y + 4z + 49 = 9

Теперь уравнение:

x^2 + y^2 + z^2 - 12x + 6y + 4z + 40 = 0

Теперь нам нужно минимизировать расстояние между точкой (6, -3, -2) и найденной точкой на сфере. Кратчайшее расстояние будет равно длине вектора (x - 6, y + 3, z + 2):

d^2 = (x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z + 2)^2

Так как мы ищем минимум, возьмем производные по x, y и z и приравняем их к нулю:

d^2/dx = 2(x - 6) = 0 d^2/dy = 2(y + 3) = 0 d^2/dz = 2(z + 2) = 0

Отсюда получаем:

x = 6 y = -3 z = -2

Таким образом, точка на сфере, ближайшая к данной точке (6, -3, -2), имеет координаты (6, -3, -2).

Теперь можем найти кратчайшее расстояние d:

d = sqrt((x - 6)^2 + (y + 3)^2 + (z + 2)^2) d = sqrt((6 - 6)^2 + (-3 + 3)^2 + (-2 + 2)^2) d = sqrt(0 + 0 + 0) d = 0

Кратчайшее расстояние от точки (6, -3, -2) до сферы x^2 + y^2 + z^2 = 9 равно 0.