Question

Решите уравнение 2cos²x=|cosx|

Answer 1

2|сosx|(|cosx|-1)=0

cosx=0; x=pi/2+pik

|cosx|=1; x=pik

Ответ x={pik;pi/2+pik}

это можно записать еще как x=pin/2, где n,k-целые

Answer 2

Для решения уравнения 2cos²x = |cosx|, разберем его по частям. Поскольку модуль |cosx| может быть либо положительным, либо равным нулю, у нас будет два случая для рассмотрения:

Случай 1: cosx ≥ 0 (cosx - положительный или нулевой)

В этом случае, модуль |cosx| не влияет на уравнение, и мы можем просто решить уравнение 2cos²x = cosx.

2cos²x = cosx

Приведем всё к одной стороне:

2cos²x - cosx = 0

Теперь вынесем общий множитель cosx:

cosx(2cosx - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных решения для этого случая:

1. cosx = 0
2. 2cosx - 1 = 0

Для первого уравнения cosx = 0, решениями являются значения углов, находящихся на оси x и удовлетворяющих условию cosx = 0. Такими углами будут π/2 + kπ, где k - целое число.

Для второго уравнения 2cosx - 1 = 0:

2cosx = 1

cosx = 1/2

Решениями этого уравнения являются углы, находящиеся в первом и четвертом квадрантах и удовлетворяющие условию cosx = 1/2. Такими углами будут π/3 + 2kπ и 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Случай 2: cosx < 0 (cosx - отрицательный)

В этом случае, модуль |cosx| делает cosx положительным, и уравнение принимает вид:

2cos²x = -cosx

Приведем всё к одной стороне:

2cos²x + cosx = 0

Теперь вынесем общий множитель cosx:

cosx(2cosx + 1) = 0

Таким образом, у нас есть еще два возможных решения для этого случая:

1. cosx = 0
2. 2cosx + 1 = 0

Решения для первого уравнения cosx = 0 остаются теми же: π/2 + kπ, где k - целое число.

Для второго уравнения 2cosx + 1 = 0:

2cosx = -1

cosx = -1/2

Решениями этого уравнения являются углы, находящиеся во втором и третьем квадрантах и удовлетворяющие условию cosx = -1/2. Такими углами будут 2π/3 + 2kπ и 4π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Итак, мы нашли все возможные решения уравнения 2cos²x = |cosx|:

1. x = π/2 + kπ, где k - целое число.
2. x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.
3. x = π/3 + 2kπ, где k - целое число.
4. x = 4π/3 + 2kπ, где k - целое число.