Question

Найти интервалы монотонности функции f(x)=x³-3x²

Answer 1

Дана функция f(x)=x³ - 3x².

Производная равна y' = 3x² - 6x, приравняем нулю)

3x² - 6х = 3х(х - 2) = 0

Получаем х = 0 и х = 2 - это критические точки, определяющие 3 промежутка монотонности: (-∞; 0), (0; 2) и (2; +∞).

На промежутках находят знаки производной.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.

Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

х = -1 0 1 2 3

y' = 9 0 -3 0 9 .

На промежутках (-∞; 0) и (2; +∞) функция возрастает,

на промежутке (0; 2) - убывает.

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонности функции $f(x) = x^3 - 3x^2$, нужно проанализировать производную этой функции и определить ее знак на различных участках области определения. Интервалы монотонности будут зависеть от знака производной.

Шаги анализа:

1. Найдем производную $f'(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x.$

2. Решим уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек: $3x^2 - 6x = 0.$

Факторизуем: $3x(x - 2) = 0.$

Таким образом, получаем две критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.

3. Изучим знак производной на различных участках числовой прямой:

   • Берем произвольную точку между $-\infty$ и $0$ (например, $x = -1$) и подставляем ее в $f'(x)$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$, что является положительным значением.
   • Берем произвольную точку между $0$ и $2$ (например, $x = 1$) и подставляем ее в $f'(x)$: $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$, что является отрицательным значением.
   • Берем произвольную точку больше $2$ (например, $x = 3$) и подставляем ее в $f'(x)$: $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$, что является положительным значением.

4. Составим таблицу знаков производной:

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & 0 & 2 & +\infty \\ \hline f'(x) & + & - & + & + \\ \hline \end{array}$$

Теперь мы можем сделать выводы о монотонности функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ на различных интервалах:

1. Функция убывает на интервале $(-\infty, 0]$.
2. Функция возрастает на интервале $[0, 2]$.
3. Функция возрастает на интервале $[2, +\infty)$.

Таким образом, ответ:

1. Функция $f(x) = x^3 - 3x^2$ убывает на интервале $(-\infty, 0]$.
2. Функция $f(x) = x^3 - 3x^2$ возрастает на интервале $[0, 2]$.
3. Функция $f(x) = x^3 - 3x^2$ возрастает на интервале $[2, +\infty)$.