Question

A) найти область определения функции (); b) найти интервалы возрастания и убывания функции; c) найти экстремумы функции; d) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции. y=x³+3x²-9x​

Answer 1

Ответ:

Привет♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Answer 2

Давайте последовательно решим каждый из пунктов для функции $y = x^3 + 3x^2 - 9x$:

a) Область определения функции:

Функция $y = x^3 + 3x^2 - 9x$ является многочленом, и многочлены определены на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. То есть, область определения этой функции — все действительные числа.

b) Интервалы возрастания и убывания функции:

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, нам нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Затем мы будем анализировать знак производной внутри и между этими точками.

Первоначально найдем производную функции: $y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x) = 3x^2 + 6x - 9.$

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: $3x^2 + 6x - 9 = 0.$ $x^2 + 2x - 3 = 0.$ $(x + 3)(x - 1) = 0.$

Отсюда получаем две точки: $x = -3$ и $x = 1$.

Теперь составим таблицу знаков производной, используя тестирование точек в каждом из интервалов, которые образованы этими корнями:

Интервал	(-∞, -3)	(-3, 1)	(1, ∞)
y'	+	-	+

Исходя из знаков производной, функция возрастает на интервалах $(-∞, -3)$ и $(1, ∞)$, и убывает на интервале $(-3, 1)$.

c) Экстремумы функции:

Экстремумы функции находятся в тех точках, где производная меняет свой знак. Мы уже определили, что производная меняет знак с положительного на отрицательный при $x = -3$ и с отрицательного на положительный при $x = 1$. Следовательно, у функции есть локальный минимум в точке $x = -3$ и локальный максимум в точке $x = 1$.

d) Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, а также точки перегиба, нам нужно анализировать знак второй производной.

Вторая производная: $y'' = \frac{d^2}{dx^2}(3x^2 + 6x - 9) = 6x + 6.$

Затем, чтобы найти точку перегиба, решим уравнение $y'' = 0$: $6x + 6 = 0.$ $x = -1.$

Теперь составим таблицу знаков второй производной, используя интервалы между корнями первой производной и точкой перегиба $x = -1$:

Интервал	(-∞, -3)	(-3, -1)	(-1, 1)	(1, ∞)
y''	-	+	+	+

Исходя из знаков второй производной, функция выпукла в интервалах $(-∞, -1)$ и $(1, ∞)$, и вогнута в интервале $(-1, 1)$. Также, точка перегиба находится при $x = -1$.

Итак, мы рассмотрели все четыре пункта задачи для функции $y = x^3 + 3x^2 - 9x$.