Question

ДАЮ 35 БАЛЛОВ!!!!!!найти промежутки выпуклости и вогнутости функции y=x^2+2x-1/x

Answer 1

Вычислим первую и вторую производные функции.

$y'=\displaystyle \frac{(x^2+2x-1)'\cdot x-(x^2+2x-1)\cdot(x)'}{x^2} = \frac{2x+2-x^2-2x+1}{x^2}=\\ \\ = \frac{3-x^2}{x^2} \\ \\ y''= \frac{(3-x^2)'\cdot x^2-(3-x^2)\cdot(x^2)'}{x^4} = \frac{(-2x)\cdot x^2-2x\cdot(3-x^2)}{x^4}=\\ \\ = \frac{-2x^2-6+2x^2}{x^3} = -\frac{6}{x^3}$

___+___(0)____-___
На промежутке  $x \in (-\infty;0)$ функция выпукла вниз, а на промежутке  $x \in (0;+\infty)$ выпукла вверх

Answer 2

Спасибо за щедрый оценочный балл! Я рад помочь вам найти промежутки выпуклости и вогнутости функции.

Для начала определим выражение для функции y(x):

y(x) = x^2 + 2x - 1/x

Чтобы найти промежутки выпуклости и вогнутости функции, нужно проанализировать её вторую производную. Если вторая производная положительна на определенном интервале, функция выпуклая на этом интервале; если вторая производная отрицательна на определенном интервале, функция вогнута на этом интервале.

Шаги анализа:

1. Найдем первую производную функции y(x).
2. Найдем вторую производную функции y(x).
3. Решим неравенство второй производной для определения промежутков выпуклости и вогнутости.

Шаг 1: Найдем первую производную функции y(x):

y'(x) = d/dx (x^2 + 2x - 1/x) y'(x) = 2x + 2 + 1/x^2

Шаг 2: Найдем вторую производную функции y(x):

y''(x) = d/dx (2x + 2 + 1/x^2) y''(x) = 2 - 2/x^3

Шаг 3: Решим неравенство y''(x) > 0 для определения промежутков выпуклости:

2 - 2/x^3 > 0 2 > 2/x^3 x^3 > 1

Корень кубического уравнения x^3 = 1 равен x = 1.

Теперь мы знаем, что функция будет выпуклой для x > 1 (так как вторая производная положительна), и вогнутой для x < 1 (так как вторая производная отрицательна).

Таким образом, промежутки выпуклости: (1, +∞) Промежутки вогнутости: (-∞, 1)

Надеюсь, это поможет! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать их.