Question

|x-1|+|x+1|<4 Розвязати

Answer 1

Разбираем три случая расположения x относительно точек 1 и -1

1)x≥1

x-1+x+1<4

2x<4

x<2

x∈[1;2)

2)-1≤x<1

1-x+x+1<4

2<4 верно

x∈[-1;1)

3)x<-1

1-x-x-1<4

-2x<4

x>-2

x∈(-2;-1)

объединяем промежутки

ОТВЕТ x∈(-2;2)

Answer 2

$|x-1|+|x+1|$

$x-1 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+1 = 0 \\ x = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = -1$

По методу интервалов (1):

x - 1: - - +

x + 1: - + +

1 случай:

$\begin{equation*} \begin{cases} x < -1\\ -(x-1) - (x+1) < 4 \\ \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} x$

$\begin{equation*} \begin{cases} x -2 \\ \end{cases} \end{equation*}$ (2)

$x \in (-2;-1)$

2 случай:

$\begin{equation*} \begin{cases} -1\le x$

$\begin{equation*} \begin{cases} -1\le x$ (3)

$x \in [-1;1)$

3 случай:

$\begin{equation*} \begin{cases} x \ge 1\\ x - 1 + x -1 < 4 \\ \end{cases} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{cases} x\ge 1 \\ 2x < 4 \\ \end{cases} \end{equation*} \ \ \rightarrow \ \ \begin{equation*} \begin{cases} x \ge 1\\ x < 2 \\ \end{cases} \end{equation*}$ (4)

Объединим множество решений:

$x \in (-2;1)\cup [-1;1) \cup [1;2) = (-2;2)$

Ответ: x∈(-2;2)

Answer 3

Щоб розв'язати нерівність |x-1| + |x+1| < 4, спробуймо розглянути чотири випадки відповідно до значень виразів |x-1| та |x+1|:

1. x-1 ≥ 0 та x+1 ≥ 0: |x-1| = x-1 та |x+1| = x+1

2. x-1 ≥ 0 та x+1 < 0: |x-1| = x-1 та |x+1| = -(x+1) = -x-1

3. x-1 < 0 та x+1 ≥ 0: |x-1| = -(x-1) = -x+1 та |x+1| = x+1

4. x-1 < 0 та x+1 < 0: |x-1| = -(x-1) = -x+1 та |x+1| = -(x+1) = -x-1

Тепер перевіримо кожен з цих випадків, підставивши значення з кожної з чотирьох областей в нерівність.

1. x-1 + x+1 < 4 2x < 4 x < 2

2. x-1 - x-1 < 4 -2 < 4 (ця умова завжди виконується)

3. -x+1 + x+1 < 4 2 < 4 (ця умова завжди виконується)

4. -x+1 - (-x-1) < 4 2x < 6 x < 3

Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення x, для яких виконується умова: -2 < x < 2 або x < 3

Графічно, це представляє собою область на числовій прямій, яка починається з відкритої точки в x = -2, продовжується до відкритої точки в x = 2, та включає всі значення x менше 3.