Question

Найди остаток от деления 33^35 на 15

Answer 1

Преобразуем:

$33^{35}=(3 \cdot 11)^{35}=3^{35}\cdot11^{35}\\ \dfrac{3^{35}\cdot11^{35}}{15}=\dfrac{3^{35} \cdot 11^{35}}{3 \cdot 5}=\dfrac{3^{34}\cdot11^{35}}{5}$

Чтобы найти остаток от деления, нам нужно узнать, какой цифрой оканчивается произведение $3^{34}\cdot 11^{35}$. Очевидно, что число $11^{35}$ оканчивается на 1, так как 1 в любой степени равняется 1. Для числа 3 найдем закономерность:

$3^0=\boxed1\\ 3^1=\boxed3\\ 3^2=\boxed9\\ 3^3=2\boxed7\\ 3^4=8\boxed1\\ 3^5=24\boxed3\\ 3^6=72\boxed9\\ 3^7=218\boxed7\\ ...$

и т.д. Значит число $3^{34}$ оканчивается на цифру 9, тогда остаток от деления получаем (9·1)/5 ⇒ ост. 4

Теперь умножим остаток на 3, которую мы сократили при преобразованиях 4·3=12

Ответ: 12

Answer 2

Для нахождения остатка от деления 33^35 на 15, можно воспользоваться свойствами модульной арифметики.

Свойство: (a * b) mod m = ((a mod m) * (b mod m)) mod m

Сначала найдем остаток от деления 33 на 15:

33 mod 15 = 3

Теперь рассмотрим степень 35. Мы можем использовать свойство:

(33^35) mod 15 = ((33 mod 15)^35) mod 15

Теперь найдем остаток от деления (33 mod 15)^35:

(3^35) mod 15

Для упрощения вычислений, посмотрим на последние цифры, оставшиеся после деления на 15, для некоторых степеней числа 3:

3^1 mod 15 = 3 3^2 mod 15 = 9 3^3 mod 15 = 27 -> остаток от деления 27 на 15 равен 12 3^4 mod 15 = 81 -> остаток от деления 81 на 15 равен 6 3^5 mod 15 = 243 -> остаток от деления 243 на 15 равен 3

Как видим, последние цифры повторяются с периодом 4: 3, 9, 12, 6. Таким образом, остаток от деления 3^35 на 15 будет такой же, как остаток от деления 3^3 на 15:

(3^35) mod 15 = (3^3) mod 15 = 12

Таким образом, остаток от деления 33^35 на 15 равен 12.