Question

Второй член геометрической прогрессии равен 4, а отношение суммы квадратов ее членов к сумме ее членов 16/3. Найти сумму первых 3 членов прогрессии.

Answer 1

$b_{2} =b_{1}q=4$

$\frac{{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...b_{n}^{2}}}{b_{1}+b_{2}+...b_{n}}=\frac{16}{3}$

Если нужно найти сумму первых 3 членов, то ограничимся $n=3$

$n=3; b_{1}, b_{2}=b_{1}q, b_{3}=b_{1}q^{2}$

$b_{1}+b_{2}+b_{3}=b_{1}(1+q+q^{2})=b_{1}(q^{2}+q+1)$

$b_{1}^{2}, b_{2}^{2}=b_{1}^{2}q^{2}, b_{3}^{2}=b_{1}^{2}q^{4}$

$b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}=b_{1}^{2}+b_{1}^{2}q^{2}+b_{1}^{2}q^{4}=b_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4})$

Представим уравнение 4 степени по-другому, выделив полный квадрат:

$q^{4}+2q^{2}+1-q^{2}=(q^{2}+1)^{2}-q^{2}=(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)$

Из уравнения $b_{2}=b{1}q=4$ выразим $b_{1}$:

$b_{1}=\frac{4}{q}$

Получилось уравнение:

$\frac{{b_{1}^{2}(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)}}{b_{1}(q^{2}+q+1)}=\frac{16}{3}$

$b_{1}\frac{{(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)}}{(q^{2}+q+1)}=\frac{16}{3}$

Подставим $b_{1}=\frac{4}{q}$:

$\frac{{4(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)}}{q(q^{2}+q+1)}=\frac{16}{3}$

Откуда, сократив на 4 и на $(q_{2}+q+1)$ получаем:

$\frac{q^{2}-q+1}{q}=\frac{4}{3}$

Домножим обе части на $3q$:

$3(q^{2}-q+1)=4q$

Раскрываем скобки:

$3q^{2}-3q+3-4q=0$

$3q^{2}-7q+3=0$

$D=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4*3*3=49-36=13$

$q_{1}=\frac{7+\sqrt{13}}{6}$

$q_{2}=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$

далее найдёте сами сумму трёх первых членов

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии через "a" и знаменатель прогрессии (отношение между последовательными членами) через "q". Тогда второй член будет равен "aq", а третий член будет равен "aq^2".

Таким образом, у нас есть следующая прогрессия: a, aq, aq^2

Сумма первых трех членов прогрессии будет: S3 = a + aq + aq^2

Теперь давайте найдем квадраты каждого члена прогрессии: (a^2), (aq)^2, (aq^2)^2 (a^2), a^2q^2, a^4q^2

Теперь найдем их сумму квадратов: S3^2 = (a^2) + a^2q^2 + a^4q^2

По условию задачи, отношение суммы квадратов к сумме членов равно 16/3: S3^2 / S3 = 16/3

Теперь заменим S3^2 и S3 в уравнении: (a^2) + a^2q^2 + a^4q^2 = (16/3)(a + aq + aq^2)

Теперь подставим известное значение второго члена геометрической прогрессии: a^2q = 4

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (a), и мы можем решить его. Воспользуемся информацией, что второй член равен 4: 4q = 4 q = 1

Теперь заменим q в уравнении a^2q = 4: a^2 = 4 a = ±2

Поскольку у нас не может быть отрицательных значений в геометрической прогрессии, выберем положительное значение a = 2.

Теперь найдем сумму первых трех членов прогрессии: S3 = a + aq + aq^2 S3 = 2 + 2(1) + 2(1)^2 S3 = 2 + 2 + 2 S3 = 6

Таким образом, сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 6.