Question

При каком наименьшем значении а уравнение cosx-√3sinx=4-2a-4a² имеет решение?

Answer 1

Cosx-√3sinx=2(1/2cosx-√3/2sinx)=
2(cosπ/3*cosx-sinπ/3*sinx)=2cos(x+π/3)
cos(x+π/3)=(4-2a-4a²)/2=2-a-2a²
2-a-2a²€[-1;1]
{2-a-2a²≤1
{2-a-2a²≥-1
1)2-a-2a²-1≤0
2a²+a-1≥0
D=1+8=9=3²
a=(1±3)/4
a1=1;a2=-1/2
__+__-1/2__-__1__+__
a€(-бес;-1/2]+[1;+бес )
2)2-а-2а²+1≥0
2а²+а-3≤0
Д=1+24=25=5²
а=(-1±5)/4
а1=1;а2=-3/2
а€(-3/2;1)
ответ а€[-3/2;-1/2]
а=-3/2

Answer 2

Давайте разберемся, при каком наименьшем значении а уравнение имеет хотя бы одно решение.

Дано уравнение: cos(x) - √3sin(x) = 4 - 2a - 4a²

Для того чтобы уравнение имело решение, выражение на его правой стороне должно находиться в диапазоне [-1, 1], так как левая сторона уравнения ограничена значениями от -1 до 1 из-за функций cos(x) и sin(x).

Итак, для существования решения, выполняется неравенство:

-1 ≤ 4 - 2a - 4a² ≤ 1

Теперь решим это неравенство:

1. 4 - 2a - 4a² ≥ -1

Переносим все в одну часть:

4 + 1 ≥ 2a + 4a²

5 ≥ 2a + 4a²

2. 4 - 2a - 4a² ≤ 1

Переносим все в одну часть:

4 - 1 ≤ 2a + 4a²

3 ≤ 2a + 4a²

Итак, нам нужно найти такое значение а, при котором выполняются оба неравенства одновременно.

Составим систему из этих двух неравенств:

5 ≥ 2a + 4a² ≥ 3

Теперь разберемся с квадратным уравнением 2a + 4a² = 5 и найдем его корни:

2a + 4a² - 5 = 0

Можно разделить все на 2 для упрощения:

a² + 2a - 5/2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b² - 4ac

где a = 1, b = 2, c = -5/2

D = 2² - 4 * 1 * (-5/2) = 4 + 10 = 14

Так как D положителен, уравнение имеет два различных действительных корня:

a = (-b ± √D) / 2

a = (-2 ± √14) / 2

Таким образом, получаем два значения для "a":

a₁ = (-2 + √14) / 2 ≈ 0.645 a₂ = (-2 - √14) / 2 ≈ -2.645

Из обоих корней, минимальное значение "а" равно приблизительно -2.645.

Итак, уравнение имеет хотя бы одно решение при "a" равном или больше -2.645.