Question

Докажите, что график функции, заданной уравнением: y=(x-2)(x-4), есть парабола, конгруэнтная параболе y=x^2.

Answer 1

Графиком функции
$y = a(x - m)^2 + n$ является парабола, конгруэнтная параболе
$y = a {x}^{2}$ вершиной которой служит точка с координатами
$(m；n)$

В нашем случае графиком функции
$y = (x - 2)(x - 4) = {x}^{2} - 6x + 8 = (x - 3 {)}^{2} - 1$является парабола и конгруэнтная параболе
$y = {x}^{2}$

Answer 2

Для доказательства, что график функции y = (x - 2)(x - 4) является параболой, конгруэнтной параболе y = x^2, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Показать, что уравнения двух парабол похожи с точностью до смещения (параллельного переноса).
2. Показать, что уравнения двух парабол похожи с точностью до масштабирования (гомотетии).

Пошаговое доказательство:

1. Шаг: Похожесть парабол по смещению (параллельному переносу):

Для функции y = (x - 2)(x - 4) у нас имеется квадратичный член x^2 и два линейных члена x, -2x и -4x. В общем виде уравнения параболы y = ax^2 + bx + c. Мы можем переписать уравнение функции y = (x - 2)(x - 4) в общем виде, раскрыв скобки:

y = x^2 - 2x - 4x + 8

y = x^2 - 6x + 8

Теперь сравним это с общим видом уравнения параболы y = ax^2 + bx + c:

a = 1, b = -6, c = 8

Уравнение y = x^2 - 6x + 8 имеет такие же значения коэффициентов a, b и c, как у уравнения y = x^2. Таким образом, графики двух парабол подобны, но первая парабола смещена на 2 единицы вправо и на 8 единиц вверх относительно второй параболы.

2. Шаг: Похожесть парабол по масштабированию (гомотетии):

Для того чтобы показать похожесть парабол по масштабированию, необходимо понять, как изменение параметра "a" влияет на форму параболы. При изменении "a" уравнение y = ax^2 задаёт различные параболы, которые либо сужаются, либо расширяются вдоль оси y в зависимости от значения "a".

Сравним уравнение y = (x - 2)(x - 4) с уравнением y = x^2:

Уравнение y = (x - 2)(x - 4) можно переписать как y = x^2 - 6x + 8.

Теперь, сравнивая с y = ax^2, мы видим, что у первой параболы "a" равно 1, а у второй параболы "a" также равно 1. Это означает, что оба графика имеют одинаковый коэффициент "a", и, следовательно, не происходит масштабирования вдоль оси y.

Таким образом, мы доказали, что график функции y = (x - 2)(x - 4) является параболой, которая конгруэнтна параболе y = x^2. Оба графика имеют одинаковую форму параболы, но различаются лишь смещением вдоль оси x и оси y.