Question

Докажите. что число 8^17 – 2^45 кратно 18

Answer 1

Ответ на картинке внизу страницы

Answer 2

Решение во вложении.

Answer 3

Для доказательства того, что число $8^{17} - 2^{45}$ кратно 18, нужно показать, что оно делится на 18 без остатка, то есть что остаток от деления этого числа на 18 равен нулю.

Мы знаем, что $8^3 = 512$ и $2^5 = 32$. Таким образом, $8^{17} = (8^3)^5 \cdot 8^2 = 512^5 \cdot 64$, а $2^{45} = (2^5)^9 = 32^9$.

Теперь рассмотрим $8^{17} - 2^{45}$: $8^{17} - 2^{45} = 512^5 \cdot 64 - 32^9$.

Мы видим, что оба слагаемых делятся на 32 (так как каждое из них содержит множитель вида $2^5$). Поэтому разделим каждое слагаемое на 32:

$8^{17} - 2^{45} = 512^5 \cdot 64 - 32^9 = (512^5 \cdot 64) / 32 - (32^9) / 32$.

Теперь упростим выражение:

$8^{17} - 2^{45} = 512^4 \cdot 64 - 32^8$.

Мы также знаем, что $512 = 2^9$. Подставим это в выражение:

$8^{17} - 2^{45} = (2^9)^4 \cdot 64 - 32^8 = 2^{36} \cdot 64 - 32^8$.

Теперь обратим внимание, что $64 = 2^6$. Подставим это:

$8^{17} - 2^{45} = 2^{36} \cdot (2^6) - 32^8 = 2^{36} \cdot 2^6 - 32^8$.

Теперь используем свойство степени:

$2^{36} \cdot 2^6 = 2^{36+6} = 2^{42}$.

Теперь у нас получилось:

$8^{17} - 2^{45} = 2^{42} - 32^8$.

Мы видим, что оба слагаемых вновь содержат множитель $2^5$, поэтому разделим каждое слагаемое на $2^5$:

$8^{17} - 2^{45} = 2^{42} - 32^8 = (2^{42}) / 32 - (32^8) / 32$.

Упростим выражение:

$8^{17} - 2^{45} = 2^{42} / 32 - 32^7$.

Теперь заметим, что $2^5 = 32$, поэтому разделим $2^{42}$ на 32:

$2^{42} / 32 = 2^{42 - 5} = 2^{37}$.

Теперь у нас получилось:

$8^{17} - 2^{45} = 2^{37} - 32^7$.

Последний шаг: мы знаем, что $32 = 2^5$, поэтому разделим $32^7$ на 32:

$32^7 = (2^5)^7 = 2^{5 \cdot 7} = 2^{35}$