Question

A)Докажите, что сумма двух последовательных натуральных чисел равна разности их квадратов b)Докажите, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 всегда дает в остатке 1

Answer 1

Задания чисто на подумать здесь. Например:

1) Числа 2 и 3.

2 + 3 = 5

2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9, 9 - 4 = 5

То, что нужно, наверняка)

2) Те же 2 и 3.

2 * 2 * 2 = 8, 3 * 3 * 3 = 27, 27 - 8 = 19

Было бы это число равно 18 - не было бы остатка при делении на 3. А он есть, и он равен 1. 19/3 = 6 (остаток: 1)

Над заданиями учительница по-моему не думала как-то)

Answer 2

a) Докажем, что сумма двух последовательных натуральных чисел равна разности их квадратов.

Пусть первое натуральное число равно n, тогда второе натуральное число будет равно n + 1.

Сумма этих двух чисел: n + (n + 1) = 2n + 1.

Квадрат первого числа: n^2.

Квадрат второго числа: (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1.

Теперь вычтем из квадрата второго числа квадрат первого числа:

(n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1.

Мы получили тот же результат, что и сумма двух чисел (2n + 1).

Таким образом, сумма двух последовательных натуральных чисел равна разности их квадратов.

b) Докажем, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 всегда дает в остатке 1.

Пусть первое натуральное число равно n, тогда второе натуральное число будет равно n + 1.

Куб первого числа: n^3.

Куб второго числа: (n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1.

Теперь вычтем из куба второго числа куб первого числа:

(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 3n^2 + 3n + 1.

Разделим полученную разность на 6 и посмотрим остаток:

(3n^2 + 3n + 1) % 6.

Для упрощения рассмотрим три случая в зависимости от остатка n при делении на 6:

1. n % 6 = 0: В этом случае, n представимо в виде n = 6k, где k - натуральное число. (3n^2 + 3n + 1) % 6 = (3(6k)^2 + 3(6k) + 1) % 6 = (108k^2 + 18k + 1) % 6 = 1 % 6 = 1.

2. n % 6 = 1: В этом случае, n представимо в виде n = 6k + 1, где k - натуральное число. (3n^2 + 3n + 1) % 6 = (3(6k + 1)^2 + 3(6k + 1) + 1) % 6 = (108k^2 + 54k + 7) % 6 = 1 % 6 = 1.

3. n % 6 = 2: В этом случае, n представимо в виде n = 6k + 2, где k - натуральное число. (3n^2 + 3n + 1) % 6 = (3(6k + 2)^2 + 3(6k + 2) + 1) % 6 = (108k^2 + 90k + 19) % 6 = 1 % 6 = 1.

Таким образом, независимо от значения n при делении на 6, разность кубов двух последовательных натуральных чисел всегда дает в остатке 1 при делении на 6.