Question

1. два спортсмени бігають по одному колу бігової доріжки стадіону. На подолання одного кола перший витрачає на 10 секунд менше, ніж другий якщо вони полчнуть із спільного стару в ондому напрямі, то зустрінуться знову через 720 секунд. У скільки разів швидкість одного спортсмена більша за швидкість другого? 2. Маємо дві посудини, що містять 8 кг і 12 кг розчинів кислоти різних концентрацій.Якщо їх злити разом, то отримаємо розчин, що містить 35% кислоти. Якщо ж злити рівні маси ціх розчинів, то отримаємо розчин, що містить 36% кислоти. Скільки кіглограмів кислоти міститься в кожній посудині?

Answer 1

1. Два спортсмена бегают по одному кругу беговой дорожки стадиона. На преодоление одного круга первый тратит на 10 секунд меньше, чем второй если они начнут из общего старта в одном направлении, то встретятся снова через 720 секунд. Во сколько раз скорость одного спортсмена больше скорости второго?

Решение.

Расстояние в 1 круг примем за 1.

х сек - время, которое тратит на 1 круг второй
спортсмен

(х-10) сек - время, которое уходит на 1 круг у первого

1/х м/сек- скорость 2-го

1/(х-10) м/с скорость 1-го

Время умножим на скорость и получим расстояние.

720*1/(х-10) = 720/(х-10) это расстояние, которое за 720 с пройдёт 1-й.

720*1/х = 720/х - это расстояние, которое за 720 с пройдёт 2-й.

По условию известно, что первый прошёл на 1 круг больше второго.

Уравнение

720/(х-10) - 720/х =1

ОДЗ: х˃0; х#10

720х-720(х-10)=х(х-10)

х²-10х-7200=0

D=10²-4*(-7200)=28900=170²

х₁=10-170/2=-80 <0 не удовл условию

х₂=10+170/2=90 с - время 2-го

90-10=80 с - время 1-го

Расстояние 1 делим на время и получаем скорость.

1/80 – скорость 1-го

1/90 – скорость 2-го

1/80 : 1/90 = 90/80=9/8= 1 ¹/₈ = 1,125 раза

Ответ: в 1,125 раза

Задача2.

2. Имеем два сосуда, содержащих 8 кг и 12 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом сосуде?

Решение

Пусть х% - концентрация первого раствора

у% - концентрация второго р-ра
,

тогда

В первом растворе содержится 8х%/100% = 2х/25 кг кислоты,

а во втором 12у%/100% = 3у/25 кг.

Если их слить, то в полученном растворе окажется

2х/25+3у/25 кг.

С другой стороны мы получим 8+12=20 кг 35% раствора.

В нем 20*35%/100%= 7 кг кислоты.

Получаем первое уравнение

2х/25+3у/25 =7

2х+3у=175

Теперь будем сливать одинаковые массы растворов, по 8 кг.

Тогда из первого раствора перейдет 8х%/100% = 2х/25 кг кислоты;

из второго 8у%/100% = 2у/25 кг.

Итоговый раствор будет иметь массу:

8+8 = 16 кг

Находим массу кислоты в итоговом растворе:

16*36%/100% = 5,76 кг

Получаем второе уравнение:

2х/25+2у/25=5,76

Упростив, получим:

х+у=72

Итак мы получили систему уравнений

{2х+3у=175

{х+у=72

Умножим второе на (-2)

{2х+3у=175

{-2х-2у=-144

Сложим:

у = 31

х=72-31=41

При х=41% в первом растворе содержится 8*41%/100% =3,28 кг кислоты

При у=31% во втором растворе содержится 12*31%/100% = 3,72 кг кислоты

Ответ: 3,28 кг; 3,72 кг
.

Answer 2

1. Позначимо швидкість першого спортсмена як V1 (у км/год) і швидкість другого спортсмена як V2 (у км/год).

Ми знаємо, що час, який перший спортсмен витрачає на одне коло, на 10 секунд менше, ніж час другого спортсмена. Тобто, якщо t1 - час першого спортсмена на одне коло, а t2 - час другого спортсмена на одне коло, то маємо такі відношення:

t1 = t2 - 10 (в секундах)

Також ми знаємо, що якщо вони стартують разом, то зустрінуться знову через 720 секунд (12 хвилин). Можемо записати відстань, яку проходить кожен спортсмен за час t1 і t2 відповідно:

Відстань першого спортсмена: D1 = V1 * t1 Відстань другого спортсмена: D2 = V2 * t2

Оскільки вони зустрінуться через 720 секунд, то сума пройдених відстаней становить довжину кола:

D1 + D2 = довжина кола

Тепер, враховуючи, що довжина кола стадіону дорівнює довжині бігової доріжки, ми можемо записати:

V1 * t1 + V2 * t2 = довжина кола

Але також маємо знаходитися у тих самих одиницях виміру, тому переведемо час t1 і t2 в секунди:

t1 = t2 - 10 (в секундах)

Тепер, знаючи час, які перший і другий спортсмен витрачають на одне коло (t1 і t2 в секундах), можемо розрахувати їх швидкості V1 і V2 в м/сек:

V1 = довжина кола / t1 V2 = довжина кола / t2

Далі, для знаходження відношення швидкостей, просто поділимо швидкість першого спортсмена на швидкість другого:

Відношення швидкостей = V1 / V2

2. Позначимо кількість кілограмів кислоти в першій посудині як Х (в кг) і в другій посудині як Y (в кг).

Знаємо, що якщо об'єднати обидві посудини, то отримаємо розчин, який містить 35% кислоти. Це означає, що сумарна кількість кислоти в обох посудинах становить 35% від сумарної маси розчину:

0.35 * (8 + 12) = 0.35 * 20 = 7 кг кислоти

Тепер, якщо змішати рівні маси обох розчинів, то отримаємо розчин з 36% кислоти. Це означає, що маси кислоти в обох посудинах рівні між собою:

X = Y

Тепер можемо записати рівняння на основі кількості кислоти в кожній посудині:

0.35 * X + 0.35 * Y = 7

А також на основі рівних мас обох посудин:

X + Y = 20

Розв'яжемо цю систему рівнянь для X і Y:

0.35X + 0.35Y = 7 X + Y = 20

Можемо помножити обидва боки першого рівняння на 100 для уникнення дробів:

35X + 35Y = 700

Тепер віднімемо друге рівняння від першого:

35X + 35Y - (X + Y) = 700 - 20 34X + 34Y = 680

Розділимо обидва боки останнього рівняння на 34:

X + Y = 20

X = 20 - Y

Підставимо значення X у друге рівняння:

20 - Y + Y = 20

Отже, X = 20 - Y і Y = 12 кг.

Тепер знайдемо значення X:

X = 20 - 12 = 8 кг.

Таким чином, в першій посудині міститься 8 кг кислоти, а в другій - 12 кг кислоти.