Question

Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 3.Если к первому и третьему членам добавить по 4,а до второго добавить 3,то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа. (С ПОЛНЫМ РЕШЕНИЕМ)

Answer 1

Пусть x; y; z - искомые числа, тогда x + y + z = 3, где y = 0,5(х + z) как средний член арифметической прогрессии. Числа x + 4; y + 3; z + 4 - образуют геометрическую пргрессию, отсюда (y + 3)² = (x + 4)(z + 4). Получили систему из трёх уравнений: x + y + z = 3, y = 0,5(х + z), (y + 3)² = (x + 4)(z + 4). Со второго уравнения получим х + z = 2у и подставим его в первое уравнение: у + 2у = 3; 3у = 3; у = 1. Если у = 1, то х + z = 2 и (1 + 3)² = (x + 4)(z + 4); 16 = (x + 4)(z + 4). х = 2 - z; 16 = (2 - z + 4)(z + 4); 16 = (6 - z)(z + 4);

16 = -z² + 2z + 24; -z² + 2z + 24 - 16 = 0; -z² + 2z + 8 = 0; z² - 2z - 8 = 0. Отсюда

z₁ = 4; z₂ = -2

Если z₁ = 4; z₂ = -2, то х₁ = 2 - 4 = -2; х₂ = 2+2 = 4.

Задача имеет два решения: -2; 1; 4 или 4; 1; -2.

Ответ: -2; 1; 4 или 4; 1; -2.

Answer 2

Давайте обозначим три числа, образующих арифметическую прогрессию, через $a - d$ и $a + d$, где $a$ - это средний член прогрессии, $d$ - разность прогрессии.

Таким образом, сумма этих трех чисел равна 3: $a + (a - d) + (a + d) = 3.$ Упростим это уравнение: $3a = 3.$ Делим обе стороны на 3: $a = 1.$

Теперь у нас есть значение среднего члена прогрессии $a = 1$. Вернемся к нашим исходным числам:

Первое число: $a - d = 1 - d$ Второе число: $a = 1$ Третье число: $a + d = 1 + d$

Теперь добавим к первому и третьему членам по 4: Первое число с добавкой: $1 - d + 4 = 5 - d$ Третье число с добавкой: $1 + d + 4 = 5 + d$

А теперь добавим к второму члену 3: Второе число с добавкой: $1 + 3 = 4$

Мы получили геометрическую прогрессию. Теперь можем записать ее:

$5 - d, 4, 5 + d$

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на определенное число, которое называется знаменателем геометрической прогрессии (ЗГП).

У нас дано, что полученные числа образуют геометрическую прогрессию, поэтому:

$(5 - d) \times (5 + d) = 4^2.$

Раскроем скобки:

$25 - d^2 = 16.$

Теперь решим уравнение относительно $d^2$:

$d^2 = 25 - 16 = 9.$

Теперь найдем значение $d$:

$d = \sqrt{9} = 3.$

Теперь, когда у нас есть значение $d$, мы можем найти первое и третье число:

Первое число: $5 - d = 5 - 3 = 2$ Третье число: $5 + d = 5 + 3 = 8$

Итак, числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $2, 4, 8$.