Question

Сумма трех чисел образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа

Answer 1

Пусть первое число x, второе (x+d), третье (х+2d)

х+x+d+x+2d=90 ⇒  x+d=30

 (x-7), (x+d-18)  и  (х+2d-2)  образуют геометрическую прогрессию
По основному свойству геометрической прогрессии:

(x+d-18)/(x-7)= (х+2d-2)/(x+d-18) 

Умножаем крайние и средние члены пропорции

(х+d-18)²=(x+2d-2)(x-7)

Система
{x+d=30   ⇒  d=30 -  x
{(х+d-18)²=(x+2d-2)(x-7)

(30-18)²=(58-x)(x-7)
x²-65x+550=0
D=4225-4·550=2025
x=10   или   х=55
d=20   или   d=-25

10; 30; 50
или
55; 30; 5

Answer 2

Проблема может быть решена с использованием системы уравнений. Давайте обозначим исходные числа как a, a+d и a+2d, где a - первое число, d - разность арифметической прогрессии.

Из условия задачи, сумма трех чисел образующих арифметическую прогрессию равна 90:

a + (a+d) + (a+2d) = 90

После сокращения получим:

3a + 3d = 90

Уравнение 1: 3a + 3d = 90.

Теперь давайте рассмотрим полученные числа после вычитания 7, 18 и 2:

(a - 7), (a+d - 18), (a+2d - 2)

Из условия задачи, эти числа образуют геометрическую прогрессию:

(a - 7) / (a+d - 18) = (a+d - 18) / (a+2d - 2)

После сокращения получим:

(a - 7)(a+2d - 2) = (a+d - 18)^2

(a^2 + 2ad - 2a - 7a - 14d + 14) = (a^2 + d^2 + 2ad - 36a - 36d + 324)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

a^2 + 2ad - 2a - 7a - 14d + 14 = a^2 + d^2 + 2ad - 36a - 36d + 324

Упрощая:

-9a + 22d = 310

Уравнение 2: -9a + 22d = 310.

Теперь у нас есть система уравнений:

3a + 3d = 90 -9a + 22d = 310

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом комбинирования. В данном случае, я воспользуюсь методом комбинирования.

Умножим первое уравнение на 3 и сложим его с вторым уравнением:

9a + 9d + (-9a + 22d) = 270 + 310

Упрощая:

31d = 580

Поделим обе части на 31:

d = 580 / 31

Вычисляя:

d ≈ 18.71

Теперь, когда у нас есть значение d, мы можем найти a, подставив его в любое из исходных уравнений. Давайте воспользуемся первым уравнением:

3a + 3(18.71) = 90

Упрощая:

3a + 56.13 = 90

Вычитая 56.13 из обеих частей:

3a = 33.87

Делим обе части на 3:

a ≈ 11.29

Таким образом, исходные числа равны примерно 11.29, 29 и 47.71.