Question

Прошу помощи в АЛГЕБРЕ! Тема: применение производной. В прямоугольный треугольник, гипотенуза которого 24 см, а угол - 60°, вписан прямоугольник так, что его сторона лежит на гипотенузе. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что он имеет наибольшую площадь.

Answer 1

Держи. Извини за грязь.

Answer 2

Для нахождения сторон прямоугольника, который имеет наибольшую площадь в прямоугольном треугольнике, можно воспользоваться производной. Первым шагом будет составление уравнения для площади прямоугольника и затем его оптимизация.

Пусть стороны прямоугольника равны x и y см. Тогда его площадь S равна S = x * y.

По условию, прямоугольник вписан в прямоугольный треугольник, и одна из его сторон лежит на гипотенузе треугольника. Таким образом, можем составить уравнение для этой стороны:

x^2 + y^2 = (гипотенуза)^2 x^2 + y^2 = 24^2 x^2 + y^2 = 576

Теперь выразим y через x из этого уравнения: y = √(576 - x^2)

Теперь составим уравнение для площади S, используя это выражение для y:

S = x * √(576 - x^2)

Для нахождения наибольшей площади, найдем экстремум функции S. Для этого возьмем производную по x и приравняем ее к нулю:

dS/dx = 0

После нахождения значения x, подставим его в уравнение y = √(576 - x^2), чтобы найти соответствующее значение y.

Теперь выполним вычисления:

dS/dx = √(576 - x^2) - x^2 * (1/2) * (576 - x^2)^(-1/2)

Приравняем производную к нулю:

√(576 - x^2) - x^2 * (1/2) * (576 - x^2)^(-1/2) = 0

Теперь решим уравнение относительно x:

√(576 - x^2) = x^2 * (1/2) * (576 - x^2)^(-1/2)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

576 - x^2 = (1/4) * x^2 * (576 - x^2)^(-1)

Теперь умножим обе части на (576 - x^2):

576 - x^2 = (1/4) * x^2

Теперь соберем все x^2 слева и справа:

5/4 * x^2 = 576

Теперь найдем значение x^2:

x^2 = 576 * 4/5 x^2 = 460.8

Теперь найдем x:

x = √460.8 x ≈ 21.45 см

Теперь найдем y, подставив значение x в уравнение y = √(576 - x^2):

y = √(576 - (21.45)^2) y ≈ √130.55 y ≈ 11.43 см

Таким образом, стороны прямоугольника, при которых его площадь максимальна, примерно равны 21.45 см и 11.43 см.