Question

Три каменщика могут вместе соорудить стену за а часов. Первый, работая отдельно, может соорудить стену в два раза быстрее третьего и на 1 час быстрее второго. За какое время каждый из них, работая отдельно, может соорудить стену.

Answer 1

Пусть І каменщик может выполнить работу за х часов, тогда II - за 2х часов, а III - за (х + 1) часов. Продуктивность первого каменщика равна 1/х, второго - 1/(2х), третьего - 1/(х + 1). Работая вместе, их продуктивность равна 1/х + 1/(2х) + 1/(х + 1), что равняется 1/а. Имеем уравнение: 1/х + 1/(2х) + 1/(х + 1) = 1/а.

1/х + 1/(2х) + 1/(х + 1) = 1/а|·2xa(x+1); x≠0; x≠-1

2a(x+1) + a(x+1) + 2xa = 2x(x+1);

2ax+2a + ax+a + 2xa = 2x² + 2x;

2x² + 2x - 2ax - 2a - ax - a - 2xa = 0;

2x² + (2 - 5a)x - 3a = 0;

D = (2 - 5a)² + 24a = 4 + 25a² - 40a + 24a = 4 + 25a² - 16a

D≥0; 4 + 25a² - 16a ≥ 0; 25a² - 16a + 4 ≥ 0; D₁ = 256 - 400 < 0 отсюда следует, что 25a² - 16a + 4 > 0 при любых а > 0.

Первый каменщик выполнит работу за

x₁ = (5a - 2 + √(25a² - 16a + 4))/4 часов, или за x₂ = (5a - 2 - √(25a² - 16a + 4))/4 часов, тогда второй - за (5a - 2 + √(25a² - 16a + 4))/2 или за (5a - 2 - √(25a² - 16a + 4))/2, а третий - за (5a + 2 + √(25a² - 16a + 4))/4 или за (5a + 2 - √(25a² - 16a + 4))/4

Answer 2

Пусть первый каменщик может соорудить стену за x часов, второй - за y часов, а третий - за z часов.

Из условия задачи у нас есть следующие сведения:

1. Три каменщика могут вместе соорудить стену за а часов, что можно записать уравнением: 1/x + 1/y + 1/z = 1/a

2. Первый каменщик может соорудить стену в два раза быстрее третьего: x = 2z

3. Первый каменщик может соорудить стену на 1 час быстрее второго: x = y - 1

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. 1/x + 1/y + 1/z = 1/a
2. x = 2z
3. x = y - 1

Давайте решим эту систему.

Сначала найдем x из уравнений (2) и (3), приравняв их: 2z = y - 1

Теперь найдем y из этого уравнения: y = 2z + 1

Теперь, зная y, можем найти x из уравнения (3): x = y - 1 x = (2z + 1) - 1 x = 2z

Таким образом, мы получили, что x = 2z, и y = 2z + 1.

Теперь подставим x и y в уравнение (1): 1/x + 1/y + 1/z = 1/a 1/(2z) + 1/(2z + 1) + 1/z = 1/a

Теперь найдем общий знаменатель и приведем дроби к общему знаменателю: (2z + 1 + 2z + 1 + 2z) / [(2z)(2z + 1)(z)] = 1/a (6z + 2) / [(2z)(2z + 1)(z)] = 1/a

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе стороны уравнения на (2z)(2z + 1)(z): 6z + 2 = a

Теперь выразим z: 6z = a - 2 z = (a - 2) / 6

Таким образом, третий каменщик может соорудить стену за (a - 2) / 6 часов.

Теперь найдем x и y, используя значения z: x = 2z x = 2 * (a - 2) / 6 x = (a - 2) / 3

y = 2z + 1 y = 2 * (a - 2) / 6 + 1 y = (a - 2) / 3 + 1 y = (a + 1) / 3

Таким образом, первый каменщик может соорудить стену за (a - 2) / 3 часов, а второй каменщик - за (a + 1) / 3 часов.