Question

1) x + 4y + x² - 16y 2) b³ + 64a³ + b² + 8ba +16a² 3) x¹² - 6x¹⁰ + 9x⁸ - 3 4) 7x – 32z(x-y) – 7y Разложите на множители, пожалуйста

Answer 1

1) x + 4y + x² - 16y ² =

= (x + 4y) + (x² - 16y ²) =

= (x + 4y) + (x - 4у)(х + 4y) =

= (x + 4y)(1 +x - 4у) =

= (x + 4y)(x - 4у + 1)

2) b³ + 64a³ + b² + 8ba +16a² =

= (b³ + 64a³) + (b² + 8ba +16a² ) =

= (b + 4a)(а² - ab + b²) + (b +4a)² =

= (b + 4a)(а² - ab + b² + b +4a)

3) Если четвертый член не 3, а 36, то решение ниже.

x¹² - 6x¹⁰ + 9x⁸ - 36 =

= (x¹² - 6x¹⁰ + 9x⁸) - 36 =

= (x⁶ - 3x⁴)² - 6² =

= (x⁶ - 3x⁴ - 6)(x⁶ - 3x + 6)

Если же четвертый член все-таки 3, то решение ниже.

x¹² - 6x¹⁰ + 9x⁸ - 3 =

= (x¹² - 6x¹⁰ + 9x⁸) - 3 =

= (x⁶ - 3x⁴)² - √3² =

= (x⁶ - 3x⁴ - √3)(x⁶ - 3x + √3)

4) 7x – 32z(x-y) – 7y =

= (7x – 7y) - 32z(x - y) =

= 7(x – y) - 32z(x - y) =

= (x – y)(7 - 32z)

Answer 2

Давайте разложим каждое из выражений на множители:

1. x + 4y + x² - 16y

Сгруппируем первые два и последние два члена: (x + 4y) + (x² - 16y)

Выделим общий множитель во второй скобке (x² - 16y = x² - (4y)²): (x + 4y) + x² - (4y)²

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов: a² - b² = (a + b)(a - b) (x + 4y) + (x + 4y)(x - 4y)

Теперь можно вынести общий множитель: (x + 4y)(1 + x - 4y)

Ответ: (x + 4y)(1 + x - 4y)

2. b³ + 64a³ + b² + 8ba + 16a²

В данном выражении нельзя применить формулы разложения на множители сразу, но мы можем попробовать сгруппировать члены:

(b³ + 64a³) + (b² + 8ba) + 16a²

Выделим общий множитель в первой скобке (b³ + 64a³ = (b + 4a)³): (b + 4a)³ + (b² + 8ba) + 16a²

Во второй скобке можно выделить общий множитель b (b² + 8ba = b(b + 8a)): (b + 4a)³ + b(b + 8a) + 16a²

Теперь в первой скобке можно применить формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) (b + 4a)(b² - 4ab + 16a²) + b(b + 8a) + 16a²

Ответ: (b + 4a)(b² - 4ab + 16a²) + b(b + 8a) + 16a²

3. x¹² - 6x¹⁰ + 9x⁸ - 3

Это выражение уже является полиномом, и его можно разложить путем факторизации. Мы можем выделить общий множитель:

x¹² - 6x¹⁰ + 9x⁸ - 3 = x⁸(x⁴ - 6x² + 9) - 3

Теперь разложим выражение в скобках. Заметим, что оно представляет собой квадрат разности: (a² - 2ab + b²) = (a - b)². Таким образом, x⁴ - 6x² + 9 = (x² - 3)².

Подставляем обратно в исходное выражение: x⁸(x² - 3)² - 3

Ответ: x⁸(x² - 3)² - 3

4. 7x – 32z(x-y) – 7y

Мы можем применить формулу разности квадратов здесь. Сначала раскроем скобку: 7x - 32zx + 32zy - 7y

Теперь можно сгруппировать члены: (7x - 32zx) + (32zy - 7y)

Выделим общий множитель в первой скобке (7x - 32zx = x(7 - 32z)): x(7 - 32z) + (32zy - 7y)

Теперь во второй скобке можно выделить общий множитель 7 (32zy - 7y = 7(4z - y)): x(7 - 32z) + 7(4z - y)

Ответ: x(7 - 32z) + 7(4z - y)