Question

Упростите выражение (sin2a+tg2a)/(1+cos2a)

Answer 1

$\dfrac{\sin2a+\mathrm{tg}2a}{1+\cos2a} =\dfrac{\sin2a+\frac{\sin2a}{\cos2a} }{1+2\cos2a} =\dfrac{\sin2a\cdot (1+\frac{1}{\cos2a})}{1+\cos2a} = \\\ =\dfrac{\sin2a\cdot \frac{\cos2a+1}{\cos2a}}{1+\cos2a} = \dfrac{\sin2a\cdot (\cos2a+1)}{\cos2a\cdot (1+\cos2a)} =\dfrac{\sin2a}{\cos2a} =\mathrm{tg}2a$

Answer 2

Числитель и знаменатель умножим на ctg2α:

$\frac{ctg2\alpha(sin2\alpha+tg2\alpha)}{ctg2\alpha(1+cos2\alpha)} =\frac{cos2\alpha+1}{ctg2\alpha(1+cos2\alpha)} =\frac{1}{ctg2\alpha} =tg2\alpha$

Answer 3

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Тождество суммы синусов: sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
2. Тождество суммы тангенсов: tan(2a) = (2tan(a))/(1-tan^2(a))
3. Тождество разности косинусов: cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Теперь упростим выражение:

(sin^2(a) + tan^2(a)) / (1 + cos^2(a))

Теперь заменим тангенс через синус и косинус:

(sin^2(a) + (2sin(a)cos(a) / (1 - (sin^2(a) / cos^2(a))))) / (1 + cos^2(a))

Теперь сделаем общий знаменатель и объединим дроби в одну:

((sin^2(a)cos^2(a) + 2sin(a)cos^3(a)) / cos^2(a)) / ((1 + cos^2(a))(cos^2(a) / cos^2(a)))

Сократим cos^2(a) в числителе:

(sin^2(a)cos^2(a) + 2sin(a)cos^3(a)) / cos^2(a) / (1 + cos^2(a))

Теперь преобразуем числитель:

sin^2(a)cos^2(a) + 2sin(a)cos^3(a) = cos^2(a)sin^2(a) + 2cos^3(a)sin(a) = cos^2(a)(sin^2(a) + 2sin(a))

Подставим полученное обратно в выражение:

(cos^2(a)(sin^2(a) + 2sin(a))) / cos^2(a) / (1 + cos^2(a))

cos^2(a) сокращаются, и остается:

sin^2(a) + 2sin(a) / (1 + cos^2(a))

Итак, упрощенное выражение:

(sin^2(a) + 2sin(a)) / (1 + cos^2(a))