Question

Марат разбил все натуральные числа от 1 до 2000 на пары и посчитал их суммы. Могло ли оказаться так, что сумма любой пары чисел делилась на 6? Решите пожалуйста, СРОЧНО!!!!!!!!!

Answer 1

Чтобы удовлетворить требуемому условию, нужно объединять числа вида 6n+1 с числами вида 6n+5 (иными словами, числа, дающие остаток 1 при делении на 6, нужно объединять с числами, дающими остаток 5), числа вида 6n+2 с числами вида 6n+4, числа вида 6n+3 с числами вида 6n+3, числа вида 6n с числами вида 6n. Проверим, сколько чисел каждого вида. Для того, чтобы можно было получить нужные пары, чисел вида 6n+1 должно быть столько же, сколько чисел вида 6n+5, и так далее. Поделим 2000 на 6 с остатком, получаем 2000=333·6+2. Таким образом, мы имеем 334 чисел вида 6n+1, 334 чисел вида 6n+2, 333 чисел вида 6n+3, 333 чисел вида 6n+4, 333 чисел вида 6n+5, 333 чисел вида 6n. Вывод: сумма любой пары чисел не может делиться на 6 сразу по четырем причинам: одному числу вида 4n+1 не хватит пары, одному числу вида 4n+2 не хватит пары, чисел вида 6n+3 нечетное число, чисел вида 6n нечетное число. Выбирайте ту причину, которая Вам нравится больше.

Ответ: не могло

Answer 2

Да, такое возможно.

Для того чтобы сумма любой пары чисел из заданного множества делилась на 6, необходимо и достаточно, чтобы все числа этого множества делились на 6. Проверим это условие:

1. Числа от 1 до 2000 делятся на 6, если они делятся на 2 и на 3.
2. Проверим делимость на 2. Все числа от 1 до 2000 делятся на 2, потому что все они являются четными.
3. Проверим делимость на 3. Для этого посчитаем сумму всех чисел от 1 до 2000 и проверим, делится ли она на 3.

Сумма всех натуральных чисел от 1 до n вычисляется по формуле S = n * (n + 1) / 2.

Для n = 2000: S = 2000 * (2000 + 1) / 2 = 2000 * 2001 / 2 = 2,001,000

Теперь проверим делится ли сумма на 3: 2,001,000 / 3 ≈ 667,000

Как видим, сумма всех чисел от 1 до 2000 не делится на 3. Это означает, что не все числа от 1 до 2000 делятся на 3, а следовательно, невозможно составить пары таким образом, чтобы сумма каждой пары делилась на 6.

Таким образом, Марат не мог разбить все натуральные числа от 1 до 2000 на пары так, чтобы сумма каждой пары делилась на 6.