Question

Определите остаток от деления числа 3^25 (три в двадцать пятой степени) на: а) 10 б)11 в)13

Answer 1

Были использованы свойства сравнения чисел по модулю

$1) 3^{25}=3*27^8\equiv 3*7^8(mod 10)=3*49^4\equiv 3*9^4(mod 10) = 3*81^2 \equiv 3*1^2(mod 10) =3\\ 2) 3^{25}=3*27^8\equiv 3*5^8(mod 11)=3*25^4\equiv 3*3^4(mod 11) = 27*9\equiv 5*9(mod 11)\equiv 1(mod 11)=1 \\ 3) 3^{25}=3*27^8\equiv3*1^8(mod 13)=3$

Answer 2

Для определения остатка от деления числа 3^25 на различные делители, можно использовать теорему остатков или свойства арифметики.

а) Остаток от деления числа 3^25 на 10: Посмотрим на последние цифры возведения числа 3 в степень: 3^1 = 3 3^2 = 9 3^3 = 27 3^4 = 81 3^5 = 243 ... Мы замечаем, что последние цифры образуют цикл: 3, 9, 7, 1. Таким образом, остаток от деления числа 3^25 на 10 равен остатку от деления 25 на 4, т.е. остаток 1.

Ответ: а) 1

б) Остаток от деления числа 3^25 на 11: Здесь применим теорему остатков. Эта теорема утверждает, что если a и b - целые числа, а m - натуральное число, то a^b mod m равно остатку от деления a^b на m.

Теперь найдем остаток от деления 3^25 на 11: Для этого можем разложить показатель степени 25 на сумму степеней числа 3, которые умножаются на остатки от деления на 11: 3^25 = 3^(22 + 2 + 1) = 3^22 * 3^2 * 3^1

Теперь используем теорему остатков для каждого множителя:

1. Остаток от деления 3^22 на 11: 3^22 mod 11 = 1 (так как 3^22 = 11 * q + 1, где q - целое число)

2. Остаток от деления 3^2 на 11: 3^2 mod 11 = 9 (так как 3^2 = 11 * 0 + 9)

3. Остаток от деления 3^1 на 11: 3^1 mod 11 = 3 (так как 3^1 = 11 * 0 + 3)

Теперь перемножим полученные остатки: 3^25 mod 11 = (3^22 * 3^2 * 3^1) mod 11 = (1 * 9 * 3) mod 11 = 27 mod 11 = 5

Ответ: б) 5

в) Остаток от деления числа 3^25 на 13: Подход аналогичен пункту (б). Разложим показатель степени 25 на сумму степеней числа 3: 3^25 = 3^(24 + 1) = 3^24 * 3^1

Теперь используем теорему остатков для каждого множителя:

1. Остаток от деления 3^24 на 13: 3^24 mod 13 = 1 (так как 3^24 = 13 * q + 1, где q - целое число)

2. Остаток от деления 3^1 на 13: 3^1 mod 13 = 3 (так как 3^1 = 13 * 0 + 3)

Теперь перемножим полученные остатки: 3^25 mod 13 = (3^24 * 3^1) mod 13 = (1 * 3) mod 13 = 3

Ответ: в) 3