Question

Избавьте от иррациональности в знаменателе 3/(2-√2+√3-√6)

Answer 1

$\frac{3}{2-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)+\sqrt{3}(1-\sqrt{2})}=\frac{3}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)-\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}=$

$=\frac{3}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})*(\sqrt{2} -1)}=$

$=\frac{3*(\sqrt{2}+\sqrt{3})*(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}-1)*(\sqrt{2}+\sqrt{3})*(\sqrt{2}+1)}=$

$=\frac{3*(\sqrt{2}+\sqrt{3})*(\sqrt{2}+1)}{(2-3)(2-1)}=$

$=\frac{3*(2+\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-1*1}=$

$=\frac{6+3\sqrt{6}+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{-1}= -({6+3\sqrt{6}+3\sqrt{2}+3\sqrt{3})$

Answer 2

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим его на сопряженное значение, то есть числитель и знаменатель будут иметь одинаковые значения, за исключением знака перед иррациональным членом.

Знаменатель: 2 - √2 + √3 - √6

Сопряженное значение знаменателя: 2 + √2 - √3 + √6

Теперь умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение:

3/(2 - √2 + √3 - √6) * (2 + √2 - √3 + √6)/(2 + √2 - √3 + √6)

Теперь нужно выполнить умножение в числителе и знаменателе:

Числитель: 3 * (2 + √2 - √3 + √6) = 6 + 3√2 - 3√3 + 3√6

Знаменатель: (2 - √2 + √3 - √6) * (2 + √2 - √3 + √6)

Теперь раскроем скобки в знаменателе:

Знаменатель = 2 * 2 + 2 * √2 - 2 * √3 + 2 * √6 - √2 * 2 - √2 * √2 + √2 * √3 - √2 * √6 + √3 * 2 - √3 * √2 + √3 * √3 - √3 * √6 + √6 * 2 - √6 * √2 + √6 * √3 - √6 * √6

Многие члены в знаменателе упростятся:

Знаменатель = 4 - 2√2 + 2√3 - 2√6 - 2 + 2√2 - √3 + √6 + 2√3 - √6 - 3 + √2√3 - √6√2 + 2√6 - √6√2 + 3 - √6√3 + 2√6 - 6

Теперь сократим и упростим:

Знаменатель = -1 - √2 + √3 - √6

Теперь можем записать исходное выражение:

(6 + 3√2 - 3√3 + 3√6)/(-1 - √2 + √3 - √6)

Таким образом, мы избавились от иррациональности в знаменателе.