Question

Определите целые числа m, n, k и p, для которых справедливо равенство: 2m+n*3^k+1*5^7*7^12=2^7-n*3^7*5^m+p*7^m+n+k

Answer 1

$2m+n*3^k+1*5^7*7^{12}=2^7-n*3^7*5^m+p*7^m+n+k$

$n*3^7*5^m+n*3^k-n+2m-p*7^m-k=49-5^7*7^{12}$

$n(3^7*5^m+3^k-1)+2m-p*7^m-k=49-5^7*7^{12}$

допустим m=12; p=5^7; k=-25; n=0 подставим

$0(3^7*5^{12}+3^{-25}-1)+2*12-5^7*7^{12}-(-25)=49-5^7*7^{12}$

24+25=49, 49=49 равенство совпало.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение по частям и выразим значения переменных m, n, k и p.

Исходное уравнение: 2m + n * 3^k + 1 * 5^7 * 7^12 = 2^7 - n * 3^7 * 5^m + p * 7^m + n + k

1. Рассмотрим степени чисел, входящих в уравнение, на обеих сторонах:

Левая сторона: 2m - здесь степень числа 2 - 1 (поскольку 2^1 = 2) n * 3^k - степень числа 3 - k 1 * 5^7 * 7^12 - степень числа 5 - 7, степень числа 7 - 12

Правая сторона: 2^7 - степень числа 2 - 7 (поскольку 2^7 = 128) n * 3^7 * 5^m - степень числа 3 - 7, степень числа 5 - m p * 7^m - степень числа 7 - m

2. Теперь соберем уравнение, объединяя части с одинаковыми степенями чисел:

2m - 7 = 2^7 n * 3^k - n * 3^7 * 5^m = 0 1 * 5^7 * 7^12 - p * 7^m = 0 n + k = 0

3. Решим уравнения по отдельности:

a) Из первого уравнения: 2m - 7 = 128 2m = 135 m = 67.5

Так как m - целое число, то это не подходит. Значит, решений для m нет.

b) Из второго уравнения: n * 3^k = n * 3^7 * 5^m

Здесь мы видим, что n умножается на одно и то же число (3^k) с обеих сторон. Если n ≠ 0, то можно сократить на n:

3^k = 3^7 * 5^m

Здесь также обращаем внимание, что k может быть равным 0, так как 3^0 = 1. Но если k ≠ 0, то:

k = 7 + m

c) Из третьего уравнения: 1 * 5^7 * 7^12 = p * 7^m

Здесь также видно, что p умножается на одно и то же число (7^m) с обеих сторон. Если p ≠ 0, то можно сократить на p:

5^7 * 7^12 = 7^m

Однако это уравнение не имеет целочисленных решений для m и p.

d) Из четвертого уравнения: n + k = 0

Исходя из уравнения b), k = 7 + m, поэтому n + 7 + m = 0 n = -7 - m

Таким образом, у нас есть решение с переменными m и n, но нет целочисленных решений для m, n, k и p, которые бы удовлетворяли исходному уравнению.