Question

Доказать Методом математической индукции неравенство 2^n>n^3 При этом n>= 10. Срочно!

Answer 1

2^10=1024

10^3=1000

Следовательно: 1024>1000

Значит 2^n>n^3

Answer 2

Хорошо, докажем неравенство 2^n > n^3 для n ≥ 10 методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для n = 10, давайте проверим, выполняется ли неравенство: 2^10 = 1024 10^3 = 1000

1024 > 1000

Базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что неравенство верно для некоторого положительного целого числа k ≥ 10, т.е., 2^k > k^3.

Шаг 3: Доказательство для n = k + 1. Теперь докажем, что неравенство также верно для n = k + 1: 2^(k+1) > (k+1)^3

Мы можем представить левую часть как 2^k * 2 и правую часть как k^3 * (k+1).

Используя предположение индукции (2^k > k^3), домножим обе стороны неравенства на 2:

2^k * 2 > k^3 * 2

Теперь заметим, что (k+1) > 2 для k ≥ 10 (так как k ≥ 10, то k + 1 ≥ 11 > 2).

Таким образом:

2^k * 2 > k^3 * 2 > k^3 * (k+1)

Мы знаем, что k^3 * (k+1) это правая часть неравенства (k+1)^3.

Итак:

2^k * 2 > (k+1)^3

Таким образом, неравенство верно для n = k + 1.

Шаг 4: Заключение. Мы доказали, что если неравенство выполняется для n = k, то оно также выполняется для n = k + 1. Поскольку базовый случай n = 10 верен и мы установили, что если неравенство верно для некоторого числа, то оно будет верно и для следующего числа, то оно верно для всех целых чисел n ≥ 10 методом математической индукции.

Таким образом, неравенство 2^n > n^3 верно для n ≥ 10.