Question

Доказать методом математической индукции. Находил сумма ряда, заметил закономерность и пришел к такому утверждению, но доказать не могу.

Answer 1

(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4) +.....+(1/n-1/(n+1)=
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=
=(n+1-1)/(n+1)=n/(n+1)

Answer 2

Можно и индукцией доказать:
База индукции:
При n = 1:
1/(1*2) = 1/(1+1) - верно.
Предположение индукции: 
Пусть при n = k верно следующее:
1/(1*2) + ,,, + 1/(k*(k+1)) = k / (k+1)
Индукционный переход:
Докажем, что 1/(1*2) + ,,, + 1/(k*(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = (k+1) / (k+2)
Заменим 1/(1*2) + ,,, + 1/(k*(k+1)) на k / (k+1), так как мы предположили верность этого равенства. Тогда должно выполняться следующее:
k / (k+1) + 1/((k+1)(k+2)) = (k+1) / (k+2)
Упростим левую часть:
k / (k+1) + 1/((k+1)(k+2)) = k*(k+2) / ((k+1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2)) = (k^2+2k+1)/((k+1)(k+2))=(k+1)^2 / ((k+1)(k+2)) = (k+1)/(k+2).
(k+1)/(k+2) = (k+1)/(k+2) - тождество, ч.т.д.

Answer 3

Математическая индукция - это метод доказательства утверждений, основанный на принципе математической индукции. Он используется для доказательства утверждений, которые зависят от натурального числа n.

Принцип математической индукции состоит из двух шагов: базового шага и шага индукции.

Базовый шаг:

В базовом шаге мы доказываем, что утверждение верно для начального значения n, обычно для n = 1.

Шаг индукции:

В шаге индукции мы предполагаем, что утверждение верно для некоторого значения n = k и доказываем, что оно также верно для n = k + 1.

Теперь, чтобы доказать утверждение с помощью метода математической индукции, вам нужно следовать следующим шагам:

1. Сформулируйте утверждение, которое вы хотите доказать с помощью математической индукции. 2. Докажите, что утверждение верно для начального значения n (базовый шаг). 3. Предположите, что утверждение верно для некоторого значения n = k (шаг индукции). 4. Докажите, что утверждение также верно для n = k + 1, используя предположение из шага индукции. 5. Сделайте вывод, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Пример: Допустим, вы хотите доказать, что сумма первых n натуральных чисел равна n(n+1)/2.

1. Базовый шаг: Проверим, что утверждение верно для n = 1. При n = 1, сумма первого натурального числа равна 1. Утверждение верно для n = 1.

2. Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого значения n = k. Предположим, что сумма первых k натуральных чисел равна k(k+1)/2.

3. Докажем, что утверждение верно для n = k + 1. Сумма первых (k + 1) натуральных чисел равна сумме первых k натуральных чисел плюс (k + 1). То есть, сумма первых (k + 1) натуральных чисел равна k(k+1)/2 + (k + 1).

4. Упростим выражение: k(k+1)/2 + (k + 1) = (k^2 + k + 2k + 2)/2 = (k^2 + 3k + 2)/2 = (k + 1)(k + 2)/2.

Таким образом, сумма первых (k + 1) натуральных чисел равна (k + 1)(k + 2)/2.

5. Мы показали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1. Следовательно, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, мы доказали, что сумма первых n натуральных чисел равна n(n+1)/2 с помощью метода математической индукции.