Question

Доказать,что n(2n-1)(2n+1) кратно 3

Answer 1

N(4n^2-1)=4n^3-n
4×3^3-3=105

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $n(2n-1)(2n+1)$ кратно 3, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Метод математической индукции состоит из двух шагов:

1. Базовый шаг: Показываем, что выражение верно для $n = 1$.
2. Шаг индукции: Предполагаем, что утверждение верно для некоторого $k$ и доказываем, что оно верно для $k + 1$.

Базовый шаг: Подставим $n = 1$ в выражение $n(2n-1)(2n+1)$: $1(2\cdot1-1)(2\cdot1+1) = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$

Таким образом, базовый шаг выполнен.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого $k$, т.е.: $k(2k-1)(2k+1)$ делится на 3.

Теперь докажем, что утверждение верно для $k + 1$, т.е.: $(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)$ также делится на 3.

Раскроем скобки: $(k+1)(2k+1)(2k+3)$

Теперь заметим, что средний множитель $2k+1$ уже участвовал в предположении индукции, и мы предположили, что он делится на 3. Также заметим, что средний множитель $2k+3$ равен $2k+1+2$, то есть представляет собой сумму двух чисел, каждое из которых делится на 3 (по предположению индукции).

Таким образом, $2k+1$ и $2k+3$ оба кратны 3, и их произведение также кратно 3.

Мы доказали, что если утверждение верно для некоторого $k$, то оно верно и для $k+1$, что завершает шаг индукции.

Таким образом, мы доказали, что выражение $n(2n-1)(2n+1)$ кратно 3 для всех натуральных чисел $n$.