Question

Найди площадь функций y=-x^2 y=x-2

Answer 1

y=-x²     y=x-2     S-?

-x²=x-2

x²+x-2=0   D=9     √D=3

x₁=-2        x₂=1        ⇒

S=₋₂∫¹(-x²-(x-2))dx=₋₂∫¹(-x²-x+2)dx=-x³/3-x²/2+2x  ₋₂|¹=

=-1³/3-1²/2+2*1-(-(-2)³/3-(-2)²/2+2*(-2))=-1/3-1/2+2-8/3+2+4=-3+1,5+6=4,5.

Ответ: S=4,5 кв. ед.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь между двумя функциями, необходимо определить область, которую они ограничивают, и затем вычислить определенный интеграл этой области. Для данных функций y=-x^2 и y=x-2, найдем точки их пересечения:

Приравняем две функции друг к другу: -x^2 = x - 2

Теперь перенесем все элементы в одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: x^2 + x - 2 = 0

Решим это уравнение с помощью факторизации: (x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = -2 и x = 1.

Теперь найдем соответствующие значения y для этих x: Подставим x = -2 в первую функцию: y = -(-2)^2 = -4 Подставим x = -2 во вторую функцию: y = -2 - 2 = -4

Подставим x = 1 в первую функцию: y = -(1)^2 = -1 Подставим x = 1 во вторую функцию: y = 1 - 2 = -1

Таким образом, точки пересечения функций y=-x^2 и y=x-2 это (-2, -4) и (1, -1).

Теперь для нахождения площади между этими функциями проведем определенный интеграл от функции y=x-2 до функции y=-x^2 по переменной x на интервале [-2, 1]:

Площадь = ∫[от -2 до 1] (y=-x^2 - (y=x-2)) dx

Площадь = ∫[от -2 до 1] (-x^2 - x + 2) dx

Для нахождения интеграла возьмем первообразную этой функции и вычислим ее значения на границах интервала:

∫(-x^2 - x + 2) dx = -(1/3)x^3 - (1/2)x^2 + 2x + C

Где C - произвольная постоянная.

Теперь вычислим значение первообразной на границах интервала:

При x = 1: -(1/3)(1)^3 - (1/2)(1)^2 + 2(1) = -1/3 - 1/2 + 2 = 3/6 - 3/6 + 12/6 = 12/6 = 2

При x = -2: -(1/3)(-2)^3 - (1/2)(-2)^2 + 2(-2) = -(-8/3) - 2 + (-4) = 8/3 - 2 - 4 = 8/3 - 10/3 = -2/3

Теперь вычислим разность значений первообразной на границах интервала:

Площадь = (значение первообразной при x=1) - (значение первообразной при x=-2) Площадь = 2 - (-2/3) = 2 + 2/3 = 8/3 ≈ 2.67

Таким образом, площадь между функциями y=-x^2 и y=x-2 на интервале [-2, 1] составляет приблизительно 8/3 или около 2.67 квадратных единиц.