Question

Всегда ли число вида n^4 - 1делится на 4. Всегда ли число вида n^6 - 1 делится на 6

Answer 1

Не всегда. например, для 2⁴-1=15 - не делится нацело на 4.  Для 2⁶-1=63 не делится нацело на 6.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди:

1. Число вида n^4 - 1 делится на 4: Если n — четное число, то n^4 также будет четным числом, потому что четное число возводимое в любую степень также будет четным. Когда мы из четного числа вычитаем 1, результат всегда будет делиться на 2, следовательно, число n^4 - 1 будет делиться на 4.

Если n — нечетное число, то n^4 будет также нечетным, так как нечетное число возводимое в четную степень дает нечетный результат. В этом случае n^4 - 1 будет четным числом (так как из нечетного числа вычитаем 1, получаем четное), и также будет делиться на 4.

Таким образом, число вида n^4 - 1 всегда делится на 4 для любого целого числа n.

2. Число вида n^6 - 1 делится на 6: Аналогично первому утверждению, давайте рассмотрим два случая:

Если n — четное число, то n^6 также будет четным числом (чтобы получить четное число возводимое в шестую степень, нужно возвести четное число в третью степень, что также будет четным числом). И когда мы вычитаем 1, результат снова будет четным числом, таким образом, n^6 - 1 будет делиться на 6.

Если n — нечетное число, то n^6 будет также нечетным (подобно предыдущему объяснению). При вычитании 1 из нечетного числа получим четное число, и оно также будет делиться на 6.

Таким образом, число вида n^6 - 1 всегда делится на 6 для любого целого числа n.

В обоих случаях, ответы утверждения верны.