Question

при каких значениях параметра a произведение корней уравнения x2-2ax+a2-2a+4=0 принимает наименьшее значение

Answer 1

X²-2ax+a²-2a+4=0
по т Виетта
х1•х2=a²-2a+4
поэтому
f(a)=a²-2a+4
f'(a)=2a-2=0
a=1

Ответ : при а=1

Answer 2

Для уравнения вида $x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 4 = 0$, где параметр $a$ - произвольное вещественное число, чтобы определить при каких значениях $a$ произведение корней будет принимать наименьшее значение, используем свойство квадратного уравнения:

Пусть корни уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 4 = 0$ равны $x_1$ и $x_2$. Тогда произведение корней будет равно $P = x_1 \cdot x_2$.

Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при $x$ с обратным знаком, т.е. $x_1 + x_2 = 2a$.

Тогда произведение корней можно выразить как:

$P = x_1 \cdot x_2 = a^2 - 2a + 4$.

Для нахождения минимального значения произведения $P$, найдем его экстремум. Производная произведения по $a$ равна:

$P'(a) = 2a - 2$.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$2a - 2 = 0$.

$2a = 2$.

$a = 1$.

Теперь нужно убедиться, что это действительно минимум. Для этого вычислим вторую производную и подставим $a = 1$:

$P''(a) = 2$.

Так как $P''(1) > 0$, то это подтверждает, что $a = 1$ действительно является точкой минимума.

Таким образом, при $a = 1$ произведение корней $x^2 - 2ax + a^2 - 2a + 4 = 0$ примет наименьшее значение.