Question

Решите уравнение пожалуйста (x-2)(x-5)/(x+1)(x-3)>=0

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, мы должны определить интервалы, на которых оно выполняется. Для этого нам понадобятся некоторые свойства функций и метод столбцов знаков.

1. Найдем значения x, при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль: (x - 2)(x - 5) = 0 => x = 2 или x = 5 (это значения x, при которых числитель равен нулю). (x + 1)(x - 3) = 0 => x = -1 или x = 3 (это значения x, при которых знаменатель равен нулю).

2. Построим таблицу столбцов знаков для каждого множителя исходного неравенства:

   Copy code
   x < -1    |    -1 < x < 2    |    2 < x < 3    |    3 < x < 5    |    x > 5
   

   ---

   (x - 2) | - | - | + | + | + (x - 5) | - | - | - | + | + (x + 1) | - | + | + | + | + (x - 3) | - | - | - | + | +

3. Теперь давайте проанализируем каждую область нашей таблицы столбцов знаков и определим, когда исходное неравенство (x - 2)(x - 5)/(x + 1)(x - 3) >= 0 выполнено:

   a) Когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, т.е. +/+ или -/-:

   • На интервале (-∞, -1): оба множителя в числителе и знаменателе отрицательны. Значит, неравенство не выполняется.
   • На интервале (-1, 2): числитель отрицателен, знаменатель положителен. Значит, неравенство не выполняется.
   • На интервале (2, 3): числитель и знаменатель положительны. Значит, неравенство выполняется.
   • На интервале (3, 5): числитель положителен, знаменатель отрицателен. Значит, неравенство не выполняется.
   • На интервале (5, ∞): оба множителя в числителе и знаменателе положительны. Значит, неравенство выполняется.

   b) Когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, т.е. +/- или -/+:

   • На интервале (-1, 2): числитель отрицателен, знаменатель положителен. Значит, неравенство не выполняется.
   • На интервале (3, 5): числитель положителен, знаменатель отрицателен. Значит, неравенство не выполняется.

Таким образом, исходное неравенство выполняется на интервалах (2, 3) и (5, ∞). Окончательное решение:

x ∈ (2, 3) U (5, ∞)