Question

РЕШИТЕ СРОЧНО, ПОЖАЛУЙСТА!!!! 1)sin2x=sin(x-pi/3) 2)cos(x-pi/6)=cos(pi/5) 3)cos2x=sin(pi/3+x)

Answer 1

task/29916604/29916224

1.   sin2x = sin(x -π/3) ⇔sin2x + sin(π/3 -x) ⇔2sin(x/2 +π/6)*cos(3x/2 -π/6) =0⇔

[ sin(x/2 +π/6) =0 ; cos(3x/2 -π/6) =0 .⇔ [ x/2 +π/6 =πn ; 3x/2 -π/6 =π/2 + πn , n∈ ℤ .⇔

[ x= - π/3 + 2πn ;  x =4π/9 + (2π/3)*n , n∈ ℤ .

2. cos(x - π/6) = cos(π/5) ⇔ cos(x - π/6) - cos(π/5) =0 ⇔

-2sin( (x-π/6-π/5)/2 )*sin( (x-π/6+ π/5)/2) =0⇔ sin( (x-11π/30) /2)*sin((x+π/30)/2)=0 ⇔

[ sin( (x-11π/30) /2) =0 ; sin((x+π/30)/2)=0.⇔[ (x-11π/30)/2 =πn ;  (x+π/30)/2=πn , n∈ ℤ ⇔

[ x = 11π/30 +2πn ;  x =  - π/30 +2πn , n∈ ℤ .

3.  cos2x = sin(π/3 +x) ⇔ cos2x = cos(π/2 -(π/3 +x) ) ⇔cos2x - cos(π/6 -x)  =0 ⇔

-2sin( (3x -π/6) /2) *sin( ( x +π/6) /2) =0⇔ [sin( (3x -π/6) /2) =0 ;sin( ( x +π/6) /2)=0.⇔

[ ( 3x -π/6)/2 =πn ; (x +π/6)/2 =πn, n∈ ℤ⇔

[ x=π/18+(2π/3)*n ; x = - π/3 +2πn ,n∈ ℤ.

* P.S. sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)*cos((α- β)/2) ;cosα-cosβ =-2sin((α -β)/2)*sin((α+β)/2) ; sinα =cos(π/2 - α) *

Answer 2

Хорошо, решим данные уравнения по очереди:

1. sin(2x) = sin(x - π/3)

Перепишем синус двойного угла с помощью тригонометрической формулы:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь уравнение принимает вид:

2sin(x)cos(x) = sin(x - π/3)

Теперь воспользуемся формулой разности для синуса:

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Таким образом, уравнение становится:

2sin(x)cos(x) = sin(x)cos(π/3) - cos(x)sin(π/3)

Упростим дальше:

2sin(x)cos(x) = sin(x) * (1/2) - cos(x) * (√3/2)

Теперь приведем подобные слагаемые на одну сторону уравнения:

2sin(x)cos(x) - sin(x) * (1/2) + cos(x) * (√3/2) = 0

Факторизуем:

sin(x) * (2cos(x) - 1/2) + cos(x) * (√3/2) = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. sin(x) = 0

2. 2cos(x) - 1/2 + (√3/2) = 0

3. sin(x) = 0

x = 0, π, 2π, 3π, ...

2. 2cos(x) - 1/2 + (√3/2) = 0

2cos(x) = 1/2 - (√3/2)

cos(x) = (1 - √3)/4

x = ±arccos((1 - √3)/4)

Таким образом, общее решение уравнения sin(2x) = sin(x - π/3) имеет вид:

x = 0, π, 2π, 3π, ... или x = ±arccos((1 - √3)/4) + 2πk, где k - целое число.

2. cos(x - π/6) = cos(π/5)

Используем формулу разности для косинуса:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Теперь уравнение принимает вид:

cos(x)cos(π/6) + sin(x)sin(π/6) = cos(π/5)

Упростим дальше:

cos(x)(√3/2) + sin(x)(1/2) = cos(π/5)

Теперь приведем подобные слагаемые на одну сторону уравнения:

cos(x)(√3/2) + sin(x)(1/2) - cos(π/5) = 0

Обратите внимание, что в данном уравнении нет переменных синуса или косинуса, только одно переменное, так что мы можем воспользоваться следующей тригонометрической идентичностью:

cos(π/5) = cos(π - π/5) = -cos(π/5)

Теперь уравнение принимает вид:

cos(x)(√3/2) + sin(x)(1/2) + cos(π/5) = 0

Используем известные значения cos(π/5) = -cos(π/5) = -0.809 и √3/2 ≈ 0.866:

cos(x)*0.866 + sin(x)*0.5 - 0.809 = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 0.866cos(x) + 0.5sin(x) - 0.809 = 0
2. 0.866cos(x) + 0.5sin(x) + 0.809 = 0

Первое уравнение:

0.866cos(x) + 0.5sin(x) - 0.809 = 0

Умножим обе стороны на 2:

1.732cos(x) + sin(x) - 1.618 = 0

Теперь вспомним про тригонометрическую формулу sin(x + y):

sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)

Сравним уравнение с формулой sin(x + y):

sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) = 1.732cos(x) + sin(x) - 1.618

Мы видим, что здесь sin(x) и cos(x) коэффициенты обеих частей уравнения совпадают. Это возможно, только если:

cos(y) = 1.732 и sin(y) = 1

Такое возможно только при y = π/3.

Теперь у нас есть:

cos(x) = cos(π/3) = 0.5

x = ±arccos(0.5) + 2πk, где k - целое число.

Второе уравнение:

0.866cos(x) + 0.5sin(x) + 0.809 = 0

Умножим обе стороны на 2:

1.732cos(x) + sin(x) + 1.618 = 0

Теперь сравним уравнение с формулой sin(x + y):

sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) = 1.732cos(x) + sin(x) + 1.618

Мы видим, что здесь sin(x) и cos(x) коэффициенты обеих частей уравнения совпадают. Это возможно, только если:

cos(y) = 1.732 и sin(y) = -1

Такое возможно только при y = 5π/3.

Теперь у нас есть:

cos(x) = cos(5π/3) = -0.5

x = ±arccos(-0.5) + 2πk, г